Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài tập hình học của bạn:

a) Chứng minh $\Delta MNK = \Delta PEK$
Xét $\Delta MNK$ và $\Delta PEK$, ta có:

$MK = KP$ (Vì $NK$ là đường trung tuyến của $\Delta MNP$, nên $K$ là trung điểm của $MP$).
$\widehat{MKN} = \widehat{PKE}$ (Hai góc đối đỉnh).
$NK = KE$ (Theo giả thiết).
$\Rightarrow \Delta MNK = \Delta PEK$ (cạnh - góc - cạnh).

b) Chứng minh $G$ là trọng tâm của $\Delta ENP$
Trong $\Delta ENP$:

$EF$ là đường trung tuyến (Vì $F$ là trung điểm của $NP$ theo giả thiết).
Mặt khác, từ câu (a) ta có $\Delta MNK = \Delta PEK \Rightarrow \widehat{NMK} = \widehat{EPK}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\widehat{NMK} = 90^\circ$ (do $\Delta MNP$ vuông tại $M$), nên $\widehat{EPK} = 90^\circ$.
Xét $\Delta ENP$, ta thấy $PK$ vuông góc với $MP$. Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là:

Ta có $K$ là trung điểm của $MP$, suy ra $PK$ là một phần của đoạn thẳng $MP$.
Vì $NK = KE$, nên $PK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NE$ của $\Delta ENP$.
Giao điểm của hai đường trung tuyến $EF$ và $PK$ chính là điểm $G$ (theo đề bài $EF$ cắt $MP$ tại $G$, mà $K$ nằm trên $MP$).
$\Rightarrow G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến trong $\Delta ENP$, do đó $G$ là trọng tâm của $\Delta ENP$.

c) Chứng minh $2NK - 2NF < NM$
Biến đổi vế trái:

Vì $NK = KE$ nên $2NK = NK + KE = NE$.
Vì $F$ là trung điểm của $NP$ nên $2NF = NP$.
Vậy $2NK - 2NF = NE - NP$.
Xét tam giác $ENP$:

Theo bất đẳng thức tam giác trong $\Delta ENP$, ta có: $NE - NP < EP$.
Từ kết quả câu (a), ta có $\Delta MNK = \Delta PEK \Rightarrow MN = EP$ (hai cạnh tương ứng).
Kết luận:

Thay các dữ kiện vào: $NE - NP < MN$.
Hay $2NK - 2NF < NM$ (Điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2