Bất phương trình đề bài:

$\log_3 \frac{x^2 - 16}{343} < \log_7 \frac{x^2 - 16}{27}$

Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức trong logarit phải luôn dương:

$\frac{x^2 - 16}{343} > 0 \Rightarrow x^2 - 16 > 0 \Rightarrow x^2 > 16 \Rightarrow x > 4 \text{ hoặc } x < -4$
Bước 2: Biến đổi bất phương trình
Đặt $t = x^2 - 16$ (với $t > 0$). Bất phương trình trở thành:

$\log_3 \left(\frac{t}{7^3}\right) < \log_7 \left(\frac{t}{3^3}\right)$
Sử dụng tính chất $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:

$\log_3 t - \log_3 7^3 < \log_7 t - \log_7 3^3$
$\log_3 t - 3 \log_3 7 < \log_7 t - 3 \log_7 3$
Bước 3: Đưa về cùng cơ số
Sử dụng công thức đổi cơ số $\log_7 t = \frac{\log_3 t}{\log_3 7}$ và $\log_7 3 = \frac{1}{\log_3 7}$:

$\log_3 t - 3 \log_3 7 < \frac{\log_3 t}{\log_3 7} - \frac{3}{\log_3 7}$
Chuyển các hạng tử chứa $\log_3 t$ về một vế:

$\log_3 t - \frac{\log_3 t}{\log_3 7} < 3 \log_3 7 - \frac{3}{\log_3 7}$
$\log_3 t \left(1 - \frac{1}{\log_3 7}\right) < 3 \left(\log_3 7 - \frac{1}{\log_3 7}\right)$
$\log_3 t \left(\frac{\log_3 7 - 1}{\log_3 7}\right) < 3 \left(\frac{(\log_3 7)^2 - 1}{\log_3 7}\right)$
Vì $\log_3 7 > 1$ nên $(\log_3 7 - 1) > 0$. Ta có thể chia cả hai vế cho $\frac{\log_3 7 - 1}{\log_3 7}$ mà không đổi chiều bất phương trình:

$\log_3 t < 3 (\log_3 7 + 1)$
$\log_3 t < 3 \log_3 7 + 3 \log_3 3$
$\log_3 t < \log_3 7^3 + \log_3 3^3 \Rightarrow \log_3 t < \log_3 (343 \cdot 27)$
$\Rightarrow t < 343 \cdot 27 \Rightarrow t < 9261$
Bước 4: Tìm giá trị của x
Trả về biến $x$:

$x^2 - 16 < 9261$
$x^2 < 9277$
$\Rightarrow -\sqrt{9277} < x < \sqrt{9277}$
Ta có $\sqrt{9277} \approx 96,31$.

Vậy $-96,31 < x < 96,31$.

Kết hợp với ĐKXĐ $x > 4$ hoặc $x < -4$:

Trường hợp $x > 4$: $x \in \{5, 6, 7, \dots, 96\}$.

Số lượng số nguyên: $96 - 5 + 1 = 92$ số.
Trường hợp $x < -4$: $x \in \{-96, -95, \dots, -5\}$.

Số lượng số nguyên: 92 số.
Tổng cộng có: $92 + 92 = 184$ số nguyên $x$.

Kết luận: Có 184 số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.