.

a) Chứng minh $\Delta DAB = \Delta DMB$
Xét $\Delta DAB$ và $\Delta DMB$ có:

$BA = BM$ (giả thiết).
$\widehat{ABD} = \widehat{MBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$).
$BD$ là cạnh chung.
$\Rightarrow \Delta DAB = \Delta DMB$ (cạnh - góc - cạnh).

b) Chứng minh $BD \perp AM$
Để chứng minh $BD \perp AM$, ta dựa vào tính chất của tam giác cân tại đỉnh $B$:

Xét $\Delta BAM$ có $BA = BM$ (giả thiết) $\Rightarrow \Delta BAM$ cân tại $B$.
Trong tam giác cân $BAM$, $BI$ (hay $BD$) là đường phân giác xuất phát từ đỉnh.
Theo tính chất của tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời cũng là đường cao.
$\Rightarrow BI \perp AM$ hay $BD \perp AM$ (đpcm).
(Hoặc em có thể chứng minh $\Delta BAI = \Delta BMI$ theo trường hợp c-g-c để suy ra hai góc tại $I$ bằng nhau và bằng $90^\circ$ nhé).

c) So sánh $NC$ và $ND$
Để so sánh $NC$ và $ND$, chúng ta sẽ thực hiện qua các bước trung gian sau:

1. Chứng minh $DN = DC$

Từ $\Delta DAB = \Delta DMB$ (câu a), ta có:

$DA = DM$ (hai cạnh tương ứng).
$\widehat{DAB} = \widehat{DMB}$. Mà $\widehat{DAB} = 90^\circ$ (nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$) hoặc trong trường hợp tổng quát, ta xét hai tam giác kề bù: $\widehat{DAN} = \widehat{DMC}$ (vì cùng bù với hai góc bằng nhau).
Xét $\Delta DAN$ và $\Delta DMC$:

$\widehat{DAN} = \widehat{DMC}$ (chứng minh trên).
$DA = DM$ (chứng minh trên).
$\widehat{ADN} = \widehat{MDC}$ (hai góc đối đỉnh).
$\Rightarrow \Delta DAN = \Delta DMC$ (g.c.g) $\Rightarrow DN = DC$ (hai cạnh tương ứng).
2. So sánh $NC$ và $ND$ trong tam giác $NDC$

Xét $\Delta NDC$, theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại:

$ND + DC > NC$
Mà ta đã chứng minh được $ND = DC$, thay vào biểu thức trên ta có:

$ND + ND > NC$
$2 \cdot ND > NC$
Tuy nhiên, trong nhiều chương trình học, câu hỏi này thường hướng tới việc so sánh $ND$ với $NC$ thông qua tam giác vuông hoặc quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Trong $\Delta DMC$ vuông tại $M$ (nếu có), ta có $DC > DM$. Vì $DC = DN$ nên $ND > DM$.
Xét $\Delta NMC$ có $\widehat{NMC}$ là góc tù (vì $\widehat{DMC} = \widehat{DAN}$ thường là góc tù khi $AB < AC$), cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất.
$\Rightarrow NC$ là cạnh lớn nhất trong $\Delta NMC \Rightarrow NC > NM$.
Kết luận chính xác nhất: Trong tam giác $NDC$, vì $NC$ đối diện với góc $\widehat{NDC}$ (thường là góc lớn), còn $ND$ và $DC$ bằng nhau. Thông thường với hình vẽ $AB < AC$, ta sẽ thấy $NC > ND$.