a) Tìm tọa độ điểm A
Điểm A là giao điểm của hai đường thẳng AB và AC. Do đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} x + 2y - 2 = 0 \\ 2x + y + 1 = 0 \end{cases}$
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số:

Từ phương trình (1): $x = 2 - 2y$
Thế vào phương trình (2): $2(2 - 2y) + y + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 4 - 4y + y + 1 = 0$
$\Leftrightarrow -3y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$
Thay $y = \frac{5}{3}$ ngược lại tìm $x$: $x = 2 - 2(\frac{5}{3}) = 2 - \frac{10}{3} = -\frac{4}{3}$
Vậy tọa độ điểm A là $A(-\frac{4}{3}; \frac{5}{3})$.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho $\vec{DB} \cdot \vec{DC}$ có giá trị nhỏ nhất
Để giải quyết câu này, trước hết ta cần xác định phương trình đường thẳng BC.

1. Viết phương trình đường thẳng BC:

Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường thẳng BC sẽ vuông góc với đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC.

Đường phân giác của góc tạo bởi AB và AC có phương trình:

$\frac{|x + 2y - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2x + y + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$
$\Leftrightarrow |x + 2y - 2| = |2x + y + 1|$
Ta có hai đường phân giác:

$d_1: x + 2y - 2 = 2x + y + 1 \Rightarrow x - y + 3 = 0$ (Phân giác trong hoặc ngoài)
$d_2: x + 2y - 2 = -(2x + y + 1) \Rightarrow 3x + 3y - 1 = 0 \Rightarrow x + y - \frac{1}{3} = 0$
Vì $M(1;2)$ thuộc BC, và BC vuông góc với đường phân giác của A. Đường thẳng BC đi qua $M(1;2)$ sẽ có dạng:

Nếu BC vuông góc với $d_1$: $x + y - 3 = 0$
Nếu BC vuông góc với $d_2$: $x - y + 1 = 0$
Kiểm tra tính chất tam giác cân (điểm B và C phải nằm về hai phía của đường phân giác qua A), ta chọn phương trình BC phù hợp. Giả sử $BC: x + y - 3 = 0$.

2. Tìm tọa độ D:

Biểu thức $P = \vec{DB} \cdot \vec{DC}$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Theo công thức về tích vô hướng, ta có:

$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = (\vec{DI} + \vec{IB}) \cdot (\vec{DI} + \vec{IC})$
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\vec{IC} = -\vec{IB}$. Khi đó:

$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = (\vec{DI} + \vec{IB}) \cdot (\vec{DI} - \vec{IB}) = DI^2 - IB^2$
Để tích vô hướng này nhỏ nhất thì $DI^2$ phải nhỏ nhất (vì $IB^2$ là độ dài nửa cạnh đáy BC, là một hằng số).

$DI^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên một đường thẳng nào đó hoặc nếu $D$ di động trên một đường thẳng, nó chính là hình chiếu. Tuy nhiên, thông thường trong các bài toán dạng này, nếu không có điều kiện ràng buộc thêm cho $D$, thì $D$ trùng với $I$ (trung điểm của BC) sẽ làm $DI = 0$ và tích vô hướng đạt giá trị nhỏ nhất là $-IB^2$.

Tìm B, C: Giao điểm của đường thẳng BC với AB và AC.
Tìm I: Trung điểm của BC.
Kết luận: Điểm $D$ cần tìm chính là trung điểm $I$ của đoạn thẳng $BC$.

1. Tìm tọa độ điểm A
Điểm   
 là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh   
 và   
. Ta có hệ phương trình:
 
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được 





.
Thay vào phương trình đầu: 






.
Vậy   
.
 
2. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC
Vì tam giác   
 cân tại   
, đường thẳng   
 phải vuông góc với đường phân giác của góc   
.
Vectơ pháp tuyến của   
 là 







.
Vectơ pháp tuyến của   
 là 







.
Vì 









, vectơ pháp tuyến của các đường phân giác là:
















.










.
 
Đường thẳng   
 đi qua 






 và vuông góc với một trong hai đường phân giác trên.
Trường hợp 1:   
 nhận 







 làm vectơ chỉ phương   
 vectơ pháp tuyến 







. Phương trình   
: 














.
Trường hợp 2:   
 nhận 







 làm vectơ chỉ phương   
 vectơ pháp tuyến 







. Phương trình   
: 














.
Thông thường trong các bài toán này, ta chọn đường thẳng   
 sao cho   
 không thuộc   
 và thỏa mãn tính chất hình học cụ thể. Cả hai đường thẳng trên đều không đi qua   
. Giả sử ta chọn 






.
 
3. Tìm tọa độ điểm D
Biểu thức 


 đạt giá trị nhỏ nhất khi   
 là trung điểm của đoạn thẳng   
 (vì 


, với   
 là trung điểm   
).
Trong tam giác   
 cân tại   
, trung điểm   
 của   
 chính là hình chiếu vuông góc của đỉnh   
 lên đường thẳng   
.
Đường thẳng   
 đi qua   
 và vuông góc với 






 nên có phương trình: 














.
Tọa độ   
 (là điểm   
) là nghiệm của hệ:
 
(Lưu ý: Nếu dùng phương trình BC còn lại 



, ta sẽ có kết quả tương tự cho tọa độ D là hình chiếu của A).
Tính toán cụ thể với 






 cho ta 






. Nếu bài toán yêu cầu   
 nằm trên   
 để 

 nhỏ nhất thì   
 chính là chân đường cao