a) Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác AED.
Phân tích: Chúng ta cần tìm các yếu tố bằng nhau giữa hai tam giác △ABD△ABD và △AED△AED dựa trên giả thiết đề bài.
Lập luận:Ta có ∠ABD=90∘∠ABD=90∘ (do tam giác ABC vuông tại B).
Ta có ∠AED=90∘∠AED=90∘ (do DE vuông góc với AC).
AD là đường phân giác của ∠BAC∠BAC, nên ∠BAD=∠EAD∠BAD=∠EAD.
Cạnh AD là cạnh chung của hai tam giác △ABD△ABD và △AED△AED.
Kết luận: Xét hai tam giác vuông △ABD△ABD và △AED△AED, ta có:∠ABD=∠AED=90∘∠ABD=∠AED=90∘ (góc vuông).
Cạnh AD là cạnh huyền chung.
∠BAD=∠EAD∠BAD=∠EAD (chứng minh trên). Do đó, △ABD=△AED△ABD=△AED theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn (c.g.n).

b) Chứng minh CD > BD.
Phân tích: Từ kết quả phần a), chúng ta biết △ABD=△AED△ABD=△AED. Điều này cho phép suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau. Chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.
Lập luận:Từ △ABD=△AED△ABD=△AED (chứng minh ở câu a), ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:BD=EDBD=ED
AB=AEAB=AE
Xét tam giác CDE vuông tại E. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Trong △CDE△CDE, cạnh huyền là CD và cạnh góc vuông là ED. Do đó, ta có CD>EDCD>ED.
Vì ED=BDED=BD (chứng minh ở bước 1) và CD>EDCD>ED (chứng minh ở bước 3), ta có thể thay thế ED bằng BD.
Kết luận: Suy ra CD>BDCD>BD.

c) Tia ED cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh AD vuông góc với KC.
Phân tích: Chúng ta cần chứng minh hai đường thẳng AD và KC vuông góc với nhau. Điều này có thể được thực hiện bằng cách chứng minh một góc bằng 90∘90∘ tại giao điểm của chúng hoặc chứng minh tổng hai góc phụ nhau bằng 90∘90∘.
Lập luận:Từ kết quả phần a), ta có △ABD=△AED△ABD=△AED, suy ra ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE.
Vì K, D, E thẳng hàng (K thuộc tia ED), ∠ADB∠ADB và ∠ADE∠ADE là hai góc kề bù với hai góc tạo bởi đường thẳng AD và đường thẳng KE tại D. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét mối quan hệ của các góc này.
Vì ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE, nên AD là đường phân giác của góc ∠BDE∠BDE (nếu B, D, E tạo thành một góc tại D). Thật ra, điều này có nghĩa là AD chia góc tạo bởi DB và DE thành hai phần bằng nhau.
Xét △KBD△KBD và △KAE△KAE:Ta có ∠KBD=90∘∠KBD=90∘ (do △ABC△ABC vuông tại B).
Ta có ∠KEA=90∘∠KEA=90∘ (do DE ⊥⊥ AC, và K nằm trên đường thẳng DE nên KE ⊥⊥ AC).
Góc ∠BKD∠BKD và ∠AKE∠AKE là hai góc đối đỉnh (nếu K là giao điểm của AB và DE, ta cần kiểm tra lại). À, K là giao điểm của tia ED và đường thẳng AB. Vậy K nằm trên AB và K, D, E thẳng hàng.
Do đó, xét △KBD△KBD và △KAE△KAE:∠KBD=90∘∠KBD=90∘ (gt).
∠KEA=90∘∠KEA=90∘ (gt DE ⊥⊥ AC, và K, E, D thẳng hàng).
∠BKD=∠AKE∠BKD=∠AKE (hai góc đối đỉnh).
Suy ra △KBD=△KAE△KBD=△KAE theo trường hợp góc-cạnh-góc (góc-góc-cạnh nếu xét cạnh BD và AE). Hoặc dùng góc-góc vì K là đỉnh chung.
Từ △KBD=△KAE△KBD=△KAE, ta suy ra BD=AEBD=AE và KB=KAKB=KA.
Ta cũng có AB=AEAB=AE từ phần a). Vậy AB=AE=KBAB=AE=KB. Điều này có nghĩa là K là trung điểm của AB.
Trong tam giác ABC, ta có AD là đường phân giác của ∠A∠A.
Trong tam giác KBC, ta có D là trung điểm của BC (chưa chắc). K là trung điểm của AB (vừa suy ra).
Quay lại ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE. Gọi ∠ADB=∠ADE=θ∠ADB=∠ADE=θ.
Vì K, D, E thẳng hàng, ∠ADE∠ADE và ∠KDA∠KDA là hai góc kề bù nếu A, D, K thẳng hàng, điều này không đúng.
Ta có ∠ADB=θ∠ADB=θ. Trên đường thẳng K-D-E, ∠ADE=θ∠ADE=θ.
Xét △KBD△KBD. Ta có ∠KBD=90∘∠KBD=90∘. ∠BDK=∠ADE=θ∠BDK=∠ADE=θ. Vậy ∠BKD=180∘−90∘−θ=90∘−θ∠BKD=180∘−90∘−θ=90∘−θ.
Ta cần chứng minh AD ⊥⊥ KC. Gọi M là giao điểm của AD và KC. Ta cần chứng minh ∠AMD=90∘∠AMD=90∘.
Trong △AMD△AMD: ∠MAD=∠BAD=α∠MAD=∠BAD=α. ∠ADM=∠ADB=θ∠ADM=∠ADB=θ.
Trong △KBD△KBD, ∠BKD=90∘−θ∠BKD=90∘−θ.
Xét △KBC△KBC. Ta có D nằm trên BC.
Ta vừa chứng minh được △ABD=△AED△ABD=△AED. Suy ra ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE.
K, D, E thẳng hàng. Gọi M là giao điểm của AD và KC.
Xét △KBD△KBD và △MAC△MAC (không liên quan).
Xét tam giác KBC:KD là đường phân giác của góc ∠BKE∠BKE (vì ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE).
DB = DE (từ phần a).
K, D, E thẳng hàng.
Ta có ∠KBD=90∘∠KBD=90∘.
Trong △KBD△KBD và △MBD△MBD...
Cách khác:Ta có ∠BAD=∠EAD=α∠BAD=∠EAD=α.
Ta có ∠ABD=∠AED=90∘∠ABD=∠AED=90∘.
△ABD=△AED  ⟹  BD=ED△ABD=△AED⟹BD=ED.
K, D, E thẳng hàng.
Xét △KBC△KBC. Ta thấy D là một điểm trên BC. K là một điểm trên AB. KC là một đường thẳng. AD là một đường thẳng.
Xét △KDB△KDB và △ADC△ADC...
Trong △KBD△KBD: ∠KBD=90∘∠KBD=90∘.
Trong △AED△AED: ∠AED=90∘∠AED=90∘.
Vì ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE, AD là đường phân giác của ∠BDE∠BDE.
Xét △KBC△KBC. K là một điểm trên AB. D là một điểm trên BC. KC là một đường thẳng cắt AD.
Ta có ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE.
Trong △KBD△KBD, ∠KBD=90∘∠KBD=90∘.
Trong △KBC△KBC, ta xét hai đường thẳng AD và KC.
Ta có ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE.
Trên đường thẳng K-D-E, ta có ∠ADB+∠BDK=180∘∠ADB+∠BDK=180∘ nếu A, D, B thẳng hàng, không đúng.
Ta biết ∠ABD=90∘∠ABD=90∘. Trong tam giác KBD, ∠BDK∠BDK là một góc.
Xét △KBC△KBC. K nằm trên AB, D nằm trên BC. KC cắt AD tại M.
Ta có ∠BDK∠BDK và ∠ADE∠ADE cùng thuộc đường thẳng KED.
Ta có ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE.
Xét △ABC△ABC. ∠BAC=2α∠BAC=2α, ∠ABC=90∘∠ABC=90∘, ∠BCA=90∘−2α∠BCA=90∘−2α.
Trong △KBD△KBD, ∠BKC+∠KCB+∠KBD=180∘∠BKC+∠KCB+∠KBD=180∘.
∠BKC+∠BCA+90∘=180∘∠BKC+∠BCA+90∘=180∘.
∠BKC+(90∘−2α)+90∘=180∘∠BKC+(90∘−2α)+90∘=180∘.
∠BKC=2α∠BKC=2α.
Vậy ∠BKC=∠BAC∠BKC=∠BAC.
Tứ giác ABCD không có gì đặc biệt.
Ta có ∠BAC=2α∠BAC=2α và ∠BKC=2α∠BKC=2α.
Trong △ABD△ABD, ∠ADB=180∘−90∘−α=90∘−α∠ADB=180∘−90∘−α=90∘−α.
Do ∠ADB=∠ADE∠ADB=∠ADE, nên ∠ADE=90∘−α∠ADE=90∘−α.
Ta cần chứng minh AD ⊥⊥ KC, tức là ∠AMD=90∘∠AMD=90∘.
Trong △AMD△AMD: ∠MAD=α∠MAD=α. ∠ADM=∠ADB=90∘−α∠ADM=∠ADB=90∘−α.
Tổng ba góc trong △AMD△AMD là ∠MAD+∠ADM+∠AMD=180∘∠MAD+∠ADM+∠AMD=180∘.
α+(90∘−α)+∠AMD=180∘α+(90∘−α)+∠AMD=180∘.
90∘+∠AMD=180∘90∘+∠AMD=180∘.
∠AMD=90∘∠AMD=90∘.
Kết luận: Vậy AD vuông góc với KC.