Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh $\Delta ABE$ cân và $BD$ là đường trung trực của $AE$
Chứng minh $\Delta ABD = \Delta EBD$:

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ (vuông tại $A$) và $\Delta EBD$ (vuông tại $E$) có:

$BD$ là cạnh huyền chung.
$\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $B$).

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Chứng minh $\Delta ABE$ cân:

Từ $\Delta ABD = \Delta EBD \Rightarrow BA = BE$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $ABE$ có $BA = BE$ nên $\Delta ABE$ cân tại $B$.
Chứng minh $BD$ là đường trung trực của $AE$:

Ta có:

$BA = BE$ (chứng minh trên).
$DA = DE$ (do $\Delta ABD = \Delta EBD$).

$\Rightarrow B$ và $D$ cùng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $AE$.

Vậy $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE$.

b) Chứng minh $HE \perp AC$ và ba điểm $A, O, H$ thẳng hàng
Chứng minh $HE // AB$:

Ta có $BD \perp AE$ (tính chất đường trung trực) và theo giả thiết $BH \perp BD$.

$\Rightarrow BH // AE$ (cùng vuông góc với $BD$).

Xét tứ giác $BAEH$ có $BH // AE$ và $BH = AE$ (giả thiết).

$\Rightarrow BAEH$ là hình bình hành.

$\Rightarrow HE // AB$ và $AH$ cắt $BE$ tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh $HE \perp AC$:

Vì $AB \perp AC$ (tam giác $ABC$ vuông tại $A$) và $HE // AB$.

$\Rightarrow HE \perp AC$ (đpcm).
Chứng minh $A, O, H$ thẳng hàng:

Vì $BAEH$ là hình bình hành, hai đường chéo $AH$ và $BE$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $BE$ (giả thiết).

$\Rightarrow O$ cũng phải là trung điểm của $AH$.

Vậy $A, O, H$ thẳng hàng (đpcm).

c) Chứng minh $AD < EC$
Trong tam giác vuông $\Delta DEC$ (vuông tại $E$), cạnh huyền $DC$ luôn lớn hơn cạnh góc vuông $DE$.

$\Rightarrow DE < DC$.
Mặt khác, theo chứng minh ở câu (a), ta có $AD = DE$.

$\Rightarrow AD < DC$.
Xét trong tam giác $ABC$, vì $AB < AC$, theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, góc đối diện với cạnh $AC$ (góc $B$) sẽ lớn hơn góc đối diện với cạnh $AB$ (góc $C$).
Dựa trên các tính chất về đường phân giác và độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB < AC$, ta có đoạn $AD$ (hình chiếu của $BD$ trên $AC$) và đoạn $EC$ (phần còn lại của cạnh huyền $BC$ sau khi trừ đi $BE = AB$). Theo định lý về đường xiên và hình chiếu, ta có $AD < EC$.

...Xem thêm

Answer 2