Giải bài tập Hình học: Tam giác và đường phân giác
GT: $\triangle ABC, AB < AC$, phân giác $AD$. $E \in AC$ sao cho $AE = AB$.

KL: a) $BD = DE$

b) $M = AB \cap ED$. Chứng minh $\triangle BDM = \triangle EDC$ (Lưu ý: Trong đề bạn ghi là $\triangle EBC$, nhưng theo logic hình học của bài này thì cặp tam giác bằng nhau khớp nhất là $\triangle BDM$ và $\triangle EDC$).

c) So sánh $DE$ và $DC$; $BD$ và $DC$.

a) Chứng minh BD = DE
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AED$ có:

$AB = AE$ (theo giả thiết)
$\widehat{BAD} = \widehat{EAD}$ ($AD$ là tia phân giác của góc $A$)
$AD$ là cạnh chung
Vậy $\triangle ABD = \triangle AED$ (cạnh - góc - cạnh).

$\Rightarrow BD = DE$ (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh $\triangle BDM = \triangle EDC$
Từ câu (a), vì $\triangle ABD = \triangle AED$ nên ta có:

$\widehat{ABD} = \widehat{AED}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{MBD} = \widehat{CED}$ (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau nêu trên)
Xét $\triangle BDM$ và $\triangle EDC$ có:

$\widehat{MBD} = \widehat{CED}$ (chứng minh trên)
$BD = DE$ (chứng minh ở câu a)
$\widehat{BDM} = \widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\triangle BDM = \triangle EDC$ (góc - cạnh - góc).

c) So sánh DE và DC; BD và DC
1. So sánh DE và DC:

Trong $\triangle EDC$, ta có góc $\widehat{DEC}$ là góc ngoài của $\triangle ADE$ tại đỉnh $E$.

Vì $\triangle ADE$ có $\widehat{AED} = \widehat{ABD}$ (là góc trong của tam giác), mà góc $\widehat{ABD}$ là góc tù (do $AB < AC$ trong tam giác $ABC$, góc đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, nhưng ở đây xét cụ thể hơn trong tam giác $MEC$ có $M$ nằm trên tia đối của $AB$):

Xét $\triangle ABC$ có $AB < AC \Rightarrow \widehat{ACB} < \widehat{ABC}$.
Trong $\triangle EDC$, ta có $\widehat{DEC} = \widehat{ABD}$ (góc tương ứng từ câu a).
Mà trong $\triangle ABC$, góc $\widehat{ABC} > \widehat{ACB}$ nên $\widehat{DEC} > \widehat{DCE}$.
Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

$\Rightarrow DC > DE$.
2. So sánh BD và DC:

Theo câu (a), ta đã có $BD = DE$.
Mà theo chứng minh trên, $DE < DC$.
Vậy $BD < DC$.

Đây là một bài toán hình học lớp 7 rất điển hình về tính chất đường phân giác và các trường hợp bằng nhau của tam giác. Chúng ta sẽ cùng giải quyết từng câu một nhé.

Giả thiết:
ΔABC,AB<AC
AD là phân giác của BAC (D∈BC)
E∈AC sao cho AE=AB

a) Chứng minh BD=DE
Xét ΔABD và ΔAED, ta có:

AB=AE (theo giả thiết)
A1​ ​=A2​ ​ (vì AD là tia phân giác của BAC )
AD là cạnh chung
⇒ΔABD=ΔAED (cạnh - góc - cạnh)

⇒BD=DE (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

b) Chứng minh ΔBDM=ΔEDC
Lưu ý: Trong đề bài bạn ghi là tam giác EBC, nhưng theo logic hình học của các điểm đã cho, ta cần chứng minh ΔBDM=ΔEDC (hai tam giác đối đỉnh tại D).

Xét ΔBDM và ΔEDC, ta có:

BD=DE (chứng minh ở câu a)
BDM =EDC (hai góc đối đỉnh)
ABD =AED (do ΔABD=ΔAED)

Mà MBD kề bù với ABD
Và CED kề bù với AED ⇒MBD =CED
⇒ΔBDM=ΔEDC (góc - cạnh - góc). (đpcm)

c) So sánh DE và DC, từ đó so sánh BD và DC
1. So sánh DE và DC: Xét ΔEDC, ta có góc AED là góc ngoài của tam giác này tại đỉnh E.

AED =EDC +ECD
Suy ra AED >C
Mặt khác, từ ΔABD=ΔAED, ta có ABD =AED . Trong ΔABC, vì AC>AB nên theo quan hệ giữa cạnh và góc đối diện:

ABC >C (Góc đối diện cạnh lớn hơn thì lớn hơn).
Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là xét điểm E nằm giữa A và C (vì AE=AB<AC). Trong ΔDEC, ta có góc DEC là góc tù (vì AED là góc nhọn của tam giác cân ABE nếu có, hoặc xét vị trí hình học). Nhưng chính xác nhất, ta xét ΔABC có AC>AB. Theo tính chất đường phân giác:

DCBD​=ACAB​
Vì AB<AC nên BD<DC.

2. Kết luận:

Từ câu (a), ta đã có BD=DE.
Vì BD<DC nên DE<DC.

Kết quả cuối cùng:

BD=DE
BD<DC (do AB<AC)