- Để giải hai phương trình lượng giác đặc biệt này, chúng ta cần lưu ý đến miền giá trị của hàm số cos x.
- Ta biết rằng đối với mọi giá trị của x, ta luôn có: -1$\le$ cos x $\le$ 1
a) Giải phương trình: cos(cos x) = 1
- Theo công thức nghiệm cơ bản, cos(u) = 1 khi u = k2$\mathrm{\pi }$ (với k$\in$Z).
+ Áp dụng vào phương trình, ta có: cos x = k2$\mathrm{\pi }$
- Vì -1 $\le$cos x $\le$1, nên giá trị k2$\mathrm{\pi }$ cũng phải nằm trong đoạn [-1, 1]:
=> $-1\le k2\pi \le 1\iff -\frac{1}{2\pi }\le k\le \frac{1}{2\pi }$
- Vì k là số nguyên và $\frac{1}{2\pi }\approx 0,159$, nên giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn là k = 0.
- Khi k = 0, ta có: cos x = 0
=> $x=\frac{\pi }{2}+m\pi \mathit{\hspace{1em}}(m\in Z)$
Vậy: Nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{2}+m\pi (m\in Z).$
b) Giải phương trình: cos(cos x) = -1
- Phương trình cos(u) = -1 xảy ra khi $u=\pi +k2\pi$ (với k $k\in Z$).
- Áp dụng vào phương trình, ta có: cos x = $\pi +k2\pi$
- Ta cũng áp dụng điều kiện miền giá trị: -1 $\le \cos x\le 1$.
Do đó: -1 $\le \pi +k2\pi \le 1$
$\iff -1-\pi \le k2\pi \le 1-\pi$
$\iff \frac{-1-\pi }{2\pi }\le k\le \frac{1-\pi }{2\pi }$
$\iff 0,659\le k\le -0,341$
- Vì trong khoảng (-0,659; -0,341) không có số nguyên k nào thỏa mãn, nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy:
Phương trình a) có nghiệm: x = $\frac{\pi }{2}+m\pi .$
Phương trình b) vô nghiệm.