Giải
* Trạng thái 1 (Ban đầu):
- Áp suất khí trong ống (p₁): Bằng áp suất khí quyển cộng với áp suất cột thủy ngân.
$p_1=p_0+h=75+75=150$ cmHg
- Thể tích khí (V₁): $V_1=l\cdot S$ (với S là tiết diện ống).
- Nhiệt độ (T₁): T₁ = 27 + 273 = 300 K.
* Trạng thái 2 (Khi thủy ngân bắt đầu tràn):
- Khi ta đun nóng, khí nở ra đẩy cột thủy ngân lên. Thủy ngân sẽ tràn ra ngoài dần dần. Gọi $x$ là chiều cao cột thủy ngân còn lại trong ống ($0\le x\le h$).
+ Áp suất lúc này: p = p₀ + x = 75 + x.
+ Chiều cao cột khí lúc này: L = (l + h) - x = 175 - x.
+ Thể tích khí: V = (175 - x).S.
- Áp dụng phương trình trạng thái khí lý tưởng cho trạng thái 1 và một trạng thái bất kỳ khi đang tràn: $\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{pV}{T}$
=> $T=\frac{p\cdot V\cdot T_1}{p_1\cdot V_1}=\frac{(75+x)(175-x)\cdot S\cdot 300}{150\cdot 100\cdot S}$
=> $T=\frac{(75+x)(175-x)\cdot 300}{15000}=\frac{(75+x)(175-x)}{50}$
- Để toàn bộ thủy ngân tràn hết ra ngoài, nhiệt độ T phải đạt đến giá trị cực đại (T_max) trong quá trình x giảm từ 75 về 0.
- Xét hàm số f(x) = (75 + x)(175 - x). Đây là một parabol quay bề lõm xuống dưới.
- Giá trị cực đại của hàm số này xảy ra khi:
$75+x=175-x\Rightarrow 2x=100\Rightarrow x=50$ cm
- Thay x = 50 vào biểu thức tính T:
$T_{max}=\frac{(75+50)(175-50)}{50}=\frac{125\cdot 125}{50}=312.5$ K
=> Đổi sang độ C: $t=T_{max}-273=312.5-273={39.5}^{\circ }$C
Đáp số: Cần đun nóng không khí đến 39.5$°$C.