Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tóm tắt:
$△$ ABC cân tại A, AB = AC = a, $\hat{B A C} = 120^{\circ}$ .
SA $⊥$ (ABC).
Góc giữa SC và (ABC) là 60 $°$ .
M là trung điểm của BC (điểm này thường xuất hiện trong các bài toán tam giác cân để tạo đường cao).
Hỏi đáp VietJack
a. Tính độ dài cạnh SA
- Xác định góc giữa SC và đáy:
+ Vì SA $⊥$ (ABC), nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy (ABC).
+ Vậy góc giữa SC và đáy chính là góc $\hat{S C A} = 60^{\circ}$ .
- Trong tam giác vuông SAC (vuông tại A):
$S A = A C \cdot \tan (60^{\circ}) = a \cdot \sqrt{3}$
Vậy: SA = $a \sqrt{3}$ .
b. Chứng minh BC $⊥$ (SAM) (với M là trung điểm BC)
- Xét $∆$ ABC cân tại A:
+ Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra BC $⊥$ AM (1).
- Xét mối quan hệ với SA:
+ Vì SA $⊥$ (ABC) và BC $\subset$ (ABC), nên SA $⊥$ BC (2).
Vậy: Từ (1) và (2), ta có BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AM và SA cùng nằm trong mặt phẳng (SAM).
Vậy BC $⊥$ (SAM).
c. Tính tan của góc giữa SM và (SAB)
- Kẻ MK $⊥$ AB (K $\in$ AB).
- Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ MK.
=> MK $⊥$ (SAB). Vậy SK là hình chiếu của SM trên (SAB).
=> Góc cần tìm là $\hat{M S K}$ . Ta cần tính $\tan \hat{M S K} = \frac{M K}{S K}$ .
=> Tính các độ dài:
- Trong $∆$ ABC: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C \cdot \cos (120^{\circ}) = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} (- 1 / 2) = 3 a^{2} \Rightarrow B C = a \sqrt{3} .$
BM = $\frac{B C}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
- Góc $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .
- Trong $∆$ BKM vuông tại K:
$M K = B M \cdot \sin (30^{\circ}) = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$
$B K = B M \cdot \cos (30^{\circ}) = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{4} .$
- Tính SK:
+ Ta có AK = AB - BK = $a - \frac{3 a}{4} = \frac{a}{4} .$
- Trong $∆$ SAK vuông tại A: $S K^{2} = S A^{2} + A K^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{a}{4})}^{2} = 3 a^{2} + \frac{a^{2}}{16} = \frac{49 a^{2}}{16} \Rightarrow S K = \frac{7 a}{4} .$
- Tính $\tan \hat{M S K} :$ $\tan ∠ M S K = \frac{M K}{S K} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{7 a}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{7}$
Vậy: tan của góc giữa SM và (SAB) là $\frac{\sqrt{3}}{7}$ .

...Xem thêm

Answer 2

Tóm tắt:
$△$ ABC cân tại A, AB = AC = a, $\hat{B A C} = 120^{\circ}$ .
SA $⊥$ (ABC).
Góc giữa SC và (ABC) là 60 $°$ .
M là trung điểm của BC (điểm này thường xuất hiện trong các bài toán tam giác cân để tạo đường cao).
Hỏi đáp VietJack
a. Tính độ dài cạnh SA
- Xác định góc giữa SC và đáy:
+ Vì SA $⊥$ (ABC), nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy (ABC).
+ Vậy góc giữa SC và đáy chính là góc $\hat{S C A} = 60^{\circ}$ .
- Trong tam giác vuông SAC (vuông tại A):
$S A = A C \cdot \tan (60^{\circ}) = a \cdot \sqrt{3}$
Vậy: SA = $a \sqrt{3}$ .
b. Chứng minh BC $⊥$ (SAM) (với M là trung điểm BC)
- Xét $∆$ ABC cân tại A:
+ Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra BC $⊥$ AM (1).
- Xét mối quan hệ với SA:
+ Vì SA $⊥$ (ABC) và BC $\subset$ (ABC), nên SA $⊥$ BC (2).
Vậy: Từ (1) và (2), ta có BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AM và SA cùng nằm trong mặt phẳng (SAM).
Vậy BC $⊥$ (SAM).
c. Tính tan của góc giữa SM và (SAB)
- Kẻ MK $⊥$ AB (K $\in$ AB).
- Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ MK.
=> MK $⊥$ (SAB). Vậy SK là hình chiếu của SM trên (SAB).
=> Góc cần tìm là $\hat{M S K}$ . Ta cần tính $\tan \hat{M S K} = \frac{M K}{S K}$ .
=> Tính các độ dài:
- Trong $∆$ ABC: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C \cdot \cos (120^{\circ}) = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} (- 1 / 2) = 3 a^{2} \Rightarrow B C = a \sqrt{3} .$
BM = $\frac{B C}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$
- Góc $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ .
- Trong $∆$ BKM vuông tại K:
$M K = B M \cdot \sin (30^{\circ}) = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$
$B K = B M \cdot \cos (30^{\circ}) = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{4} .$
- Tính SK:
+ Ta có AK = AB - BK = $a - \frac{3 a}{4} = \frac{a}{4} .$
- Trong $∆$ SAK vuông tại A: $S K^{2} = S A^{2} + A K^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{a}{4})}^{2} = 3 a^{2} + \frac{a^{2}}{16} = \frac{49 a^{2}}{16} \Rightarrow S K = \frac{7 a}{4} .$
- Tính $\tan \hat{M S K} :$ $\tan ∠ M S K = \frac{M K}{S K} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{7 a}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{7}$
Vậy: tan của góc giữa SM và (SAB) là $\frac{\sqrt{3}}{7}$ .

2 câu trả lời 66

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11