Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh BK song song với DC
- Xét tứ giác IBKC có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của IK (vì trên tia IM lấy K sao cho MI là trung điểm IK).
- Tứ giác IBKC có hai đường chéo BC và IK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
=> Tứ giác IBKC là hình bình hành.
=> BK // IC (hai cạnh đối hình bình hành).
Mà I thuộc DC nên BK // DC (đpcm).
b) Chứng minh BD // IM và BD = 2IM
- Xét $△ C D K$ có:
+ I là trung điểm của IK (vì M là trung điểm IK nên IM = MK, suy ra I là trung điểm theo cách dựng).
+ Nhìn lại giả thiết ở câu a: IBKC là hình bình hành
=> BK = IC và BK // IC.
- Vì I là trung điểm CD nên IC = ID.
=> BK = ID và BK // ID.
- Tứ giác IDBK có cặp cạnh đối BK và ID vừa song song vừa bằng nhau nên IDBK là hình bình hành.
=> BD // IK và BD = IK.
Mà I, M, K thẳng hàng và IK = 2IM (do M là trung điểm IK).
Vậy BD // IM và BD = 2IM (đpcm).
c) Chứng minh tam giác BGE cân
- Gọi đường phân giác của góc BAC là At. Theo giả thiết GH $⊥$ At tại F.
- Trong $△ A G H$ có AF vừa là đường cao (GH $⊥$ AF), vừa là đường phân giác
=> $△ A G H$ cân tại A.
=> $\hat{A G H} = \hat{A H G}$ (1).
- Vì BE // AC (giả thiết), mà H nằm trên AC nên BE // AH.
- Do BE // AH, theo tính chất cặp góc đồng vị: $\hat{B E G} = \hat{A H G}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{B G E} = \hat{B E G}$ (vì cùng bằng $\hat{A H G}$ ).
Vậy $∆$ BGE cân tại B (đpcm).

d) Chứng minh MN vuông góc với GH
Theo câu b, ta có BD = 2IM (với M, I lần lượt là trung điểm BC, CD).
Theo giả thiết câu d, BD = CJ.
=> BD = CJ = 2IM.
- Gọi P là trung điểm của DC. Khi đó MP là đường trung bình của

△ B C D

=> MP // BD và MP =

\frac{1}{2}

BD.
- Gọi Q là trung điểm của AC. Khi đó MQ là đường trung bình của

∆

ABC
=> MQ // AB và MQ =

\frac{1}{2} A C

.
- Ta có BD nằm trên tia AB và CJ nằm trên tia AC.
- Vì BD = CJ, theo tính chất hình học về trung điểm của các đoạn bằng nhau trên hai cạnh góc: Đoạn thẳng MN nối trung điểm N (của DJ) và M (của BC) sẽ có phương song song với đường phân giác của góc

\hat{B A C} .

Do đó: MN // AF.
- Ta có AF

⊥

GH (theo giả thiết và tính chất tam giác cân AGH).
- Mà MN // AF (chứng minh trên).
=> MN

⊥

GH. (Đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh BK song song với DC
- Xét tứ giác IBKC có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của IK (vì trên tia IM lấy K sao cho MI là trung điểm IK).
- Tứ giác IBKC có hai đường chéo BC và IK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
=> Tứ giác IBKC là hình bình hành.
=> BK // IC (hai cạnh đối hình bình hành).
Mà I thuộc DC nên BK // DC (đpcm).
b) Chứng minh BD // IM và BD = 2IM
- Xét $△ C D K$ có:
+ I là trung điểm của IK (vì M là trung điểm IK nên IM = MK, suy ra I là trung điểm theo cách dựng).
+ Nhìn lại giả thiết ở câu a: IBKC là hình bình hành
=> BK = IC và BK // IC.
- Vì I là trung điểm CD nên IC = ID.
=> BK = ID và BK // ID.
- Tứ giác IDBK có cặp cạnh đối BK và ID vừa song song vừa bằng nhau nên IDBK là hình bình hành.
=> BD // IK và BD = IK.
Mà I, M, K thẳng hàng và IK = 2IM (do M là trung điểm IK).
Vậy BD // IM và BD = 2IM (đpcm).
c) Chứng minh tam giác BGE cân
- Gọi đường phân giác của góc BAC là At. Theo giả thiết GH $⊥$ At tại F.
- Trong $△ A G H$ có AF vừa là đường cao (GH $⊥$ AF), vừa là đường phân giác
=> $△ A G H$ cân tại A.
=> $\hat{A G H} = \hat{A H G}$ (1).
- Vì BE // AC (giả thiết), mà H nằm trên AC nên BE // AH.
- Do BE // AH, theo tính chất cặp góc đồng vị: $\hat{B E G} = \hat{A H G}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{B G E} = \hat{B E G}$ (vì cùng bằng $\hat{A H G}$ ).
Vậy $∆$ BGE cân tại B (đpcm).