Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh: Nếu $∆$ ABC cân tại A thì A, G, H, I, O thẳng hàng.
- Tính chất đối xứng: Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực ứng với cạnh đáy BC.
- Vị trí các điểm đặc biệt:
Trọng tâm G: Nằm trên đường trung tuyến AM.
Trực tâm H: Nằm trên đường cao AM.
Tâm nội tiếp I: Nằm trên đường phân giác AM.
Tâm ngoại tiếp O: Nằm trên đường trung trực AM.
Vậy: Vì tất cả các điểm G, H, I, O đều nằm trên đường thẳng AM, nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Chứng minh: Nếu A, H, I thẳng hàng thì $∆$ ABC cân tại A.
- Xác định đường thẳng: Giả sử A, H, I$ cùng nằm trên đường thẳng d.
- Vì I thuộc d nên AI là đường phân giác của góc A. Vậy d là đường phân giác của góc A.
- Vì H thuộc d nên AH là một phần của đường cao hạ từ A. Vậy d $⊥$ BC.
- Xét $∆$ ABC: Đường thẳng d vừa là đường phân giác, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.
Chứng minh cân: Gọi D là giao điểm của d và BC.
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ACD vuông tại D có: AD chung, $\hat{B A D} = \hat{C A D}$ (do AD là phân giác).
=> $∆$ ABD = $∆$ ACD (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> AB = AC.
Vậy: Tam giác ABC cân tại A.
Hỏi đáp VietJack

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh: Nếu $∆$ ABC cân tại A thì A, G, H, I, O thẳng hàng.
- Tính chất đối xứng: Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực ứng với cạnh đáy BC.
- Vị trí các điểm đặc biệt:
Trọng tâm G: Nằm trên đường trung tuyến AM.
Trực tâm H: Nằm trên đường cao AM.
Tâm nội tiếp I: Nằm trên đường phân giác AM.
Tâm ngoại tiếp O: Nằm trên đường trung trực AM.
Vậy: Vì tất cả các điểm G, H, I, O đều nằm trên đường thẳng AM, nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Chứng minh: Nếu A, H, I thẳng hàng thì $∆$ ABC cân tại A.
- Xác định đường thẳng: Giả sử A, H, I$ cùng nằm trên đường thẳng d.
- Vì I thuộc d nên AI là đường phân giác của góc A. Vậy d là đường phân giác của góc A.
- Vì H thuộc d nên AH là một phần của đường cao hạ từ A. Vậy d $⊥$ BC.
- Xét $∆$ ABC: Đường thẳng d vừa là đường phân giác, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.
Chứng minh cân: Gọi D là giao điểm của d và BC.
- Xét $∆$ ABD và $∆$ ACD vuông tại D có: AD chung, $\hat{B A D} = \hat{C A D}$ (do AD là phân giác).
=> $∆$ ABD = $∆$ ACD (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
=> AB = AC.
Vậy: Tam giác ABC cân tại A.
Hỏi đáp VietJack

Answer 3

Ta làm lần lượt từng ý:

a) Nếu ΔABC cân tại A ⇒ A, G, H, I, O thẳng hàng
Giả sử tam giác ABC cân tại A
⇒ AB = AC.

Khi đó:

- Đường trung tuyến kẻ từ A xuống BC đồng thời là:

+ đường cao,
+ đường phân giác,
+ đường trung trực của BC.
Gọi đường thẳng đó là (AD).

Ta có:

G là trọng tâm ⇒ G nằm trên trung tuyến AD.
H là trực tâm ⇒ H nằm trên đường cao AD.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇒ I nằm trên phân giác AD.
O là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ O nằm trên trung trực AD.
Vì tất cả đều nằm trên cùng đường thẳng AD nên:

A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu A, H, I thẳng hàng ⇒ ΔABC cân tại A
Giả sử A, H, I thẳng hàng.

Ta biết:

H nằm trên các đường cao.
I nằm trên các đường phân giác.
Do A, H, I cùng thuộc một đường thẳng nên:

→ Đường cao kẻ từ A trùng với đường phân giác góc A.

Trong tam giác, nếu đường cao đồng thời là phân giác thì:

AB = AC
⇒ tam giác ABC cân tại A.

Kết luận

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì A, G, H, I, O thẳng hàng.
b) Nếu A, H, I thẳng hàng thì tam giác ABC cân tại A.