Bài giải:
- Với mọi số thực dương x < 4, ta luôn có: $\frac{1}{4-x}\le \frac{x+2}{9}$
- Xét hiệu: $\frac{x+2}{9}-\frac{1}{4-x}=\frac{(x+2)(4-x)-9}{9(4-x)}$
= $\frac{4x-x^2+8-2x-9}{9(4-x)}$
= $\frac{-x^2+2x-1}{9(4-x)}=\frac{-(x^2-2x+1)}{9(4-x)}=\frac{-{(x-1)}^2}{9(4-x)}$
- Vì a, b, c là số thực dương và $a^4+b^4+c^4=3$ nên a, b, c đều nhỏ hơn $\sqrt[4]{3}\approx 1,3$.
=> x = ab < 2, dẫn đến 4 - x > 0.
Do đó, $\frac{-{(x-1)}^2}{9(4-x)}\le 0$ (vế trái nhỏ hơn hoặc bằng 0).
Vậy $\frac{1}{4-x}\le \frac{x+2}{9}$ là đúng. (Dấu "=" xảy ra khi x = 1).
- Thay x lần lượt bởi ab, bc, ca, ta có:
$\frac{1}{4-ab}\le \frac{ab+2}{9}$ (1)
$\frac{1}{4-bc}\le \frac{bc+2}{9}$ (2)
$\frac{1}{4-ca}\le \frac{ca+2}{9}$ (3)
- Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta được:
$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le \frac{ab+bc+ca+6}{9}$
- Ta có các bất đẳng thức quen thuộc (học ở chương III lớp 8):
$a^2+b^2\ge 2ab$
$b^2+c^2\ge 2bc$
$c^2+a^2\ge 2ca$
=> Cộng lại ta có: $2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca.$
Tương tự:
$a^4+b^4\ge 2a^2{b}^2$
$b^4+c^4\ge 2b^2{c}^2$
$c^4+a^4\ge 2c^2{a}^4$
=> $2(a^4+b^4+c^4)\ge 2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)$
=> $3\ge a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2(d{o}^4+b^4+c^4=3)$.
Lại có: ${(a^2+b^2+c^2)}^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)\le 3+2\left(3\right)=9$
=> $a^2+b^2+c^2\le 3.$
=> $ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le 3.$
- Thay $ab+bc+ca\le 3$ vào biểu thức ở bước 2: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le \frac{3+6}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1. (Điều này thỏa mãn $1^4+1^4+1^4=3$).

Bài giải:
- Với mọi số thực dương x < 4, ta luôn có: 14−x≤x+29
- Xét hiệu: x+29−14−x=(x+2)(4−x)−99(4−x)
= 4x−x2+8−2x−99(4−x)
= −x2+2x−19(4−x)=−(x2−2x+1)9(4−x)=−(x−1)29(4−x)
- Vì a, b, c là số thực dương và a4+b4+c4=3 nên a, b, c đều nhỏ hơn 4√3≈1,3.
=> x = ab < 2, dẫn đến 4 - x > 0.
Do đó, −(x−1)29(4−x)≤0 (vế trái nhỏ hơn hoặc bằng 0).
Vậy 14−x≤x+29 là đúng. (Dấu "=" xảy ra khi x = 1).
- Thay x lần lượt bởi ab, bc, ca, ta có:
14−ab≤ab+29 (1)
14−bc≤bc+29 (2)
14−ca≤ca+29 (3)
- Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta được:
14−ab+14−bc+14−ca≤ab+bc+ca+69
- Ta có các bất đẳng thức quen thuộc (học ở chương III lớp 8):
a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ca
=> Cộng lại ta có: 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)⇒a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
Tương tự:
a4+b4≥2a2b2
b4+c4≥2b2c2
c4+a4≥2c2a4
=> 2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)
=> 3≥a2b2+b2c2+c2a2(do4+b4+c4=3).
Lại có: (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)≤3+2(3)=9
=> a2+b2+c2≤3.
=> ab+bc+ca≤a2+b2+c2≤3.
- Thay ab+bc+ca≤3 vào biểu thức ở bước 2: 14−ab+14−bc+14−ca≤3+69=1
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1. (Điều này thỏa mãn 14+14+14=3)