Giả thiết:
$∆$ABC vuông cân tại A (AB = AC, $\hat{A}$ = 90$°$).
AH $\perp$ BC, AE là phân giác $\widehat{HAC}$ (E $\in$ HC).
a) Chứng minh AI = HC
- Vì $∆$ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ACB}$ = 45$°$.
- Trong $∆$AHC vuông tại H, ta có $\widehat{HAC}$ = 90$°$ - $\widehat{ACH}$ = 90$°$ - 45$°$ = 45$°$.
- Xét $∆$AHE vuông tại H và $∆$AIE vuông tại I:
AE là cạnh huyền chung.
$\widehat{HAE}=\widehat{IAE}$ (do AE là phân giác $\widehat{HAC}$).
=> $∆$AHE = $∆$AIE (cạnh huyền - góc nhọn).
=> AH = AI (hai cạnh tương ứng).
- Xét $∆$AHC vuông tại H có $\widehat{HAC}={45}^{\circ }$, nên $∆$AHC vuông cân tại H.
=> AH = HC.
=> Từ AI = AH và AH = HC, ta có AI = HC (đpcm).
b) Ghi chú về điểm K và M
Phần này đề bài đưa ra giả thiết AK = AM nhưng chưa yêu cầu chứng minh cụ thể. Thông thường, yêu cầu sẽ là chứng minh $∆$AKM vuông cân hoặc liên quan đến trung điểm.

c) Chứng minh AE = EN
- Ta có Cx $\perp$ AC và AB $\perp$ AC nên Cx // AB.
- Theo câu (a), $∆$AHC vuông cân tại H nên $\widehat{ACH}={45}^{\circ }.$
- Xét $∆$ACE:
$\widehat{CAE}=\frac{1}{2} \widehat{HAC}=\frac{{45}^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$.
$\widehat{ACE}={45}^{\circ }.$
=> $\widehat{AEC}={180}^{\circ }-(22,5^{\circ }+{45}^{\circ })=112,5^{\circ }.$
- Vì EN $\perp$ AE nên $\widehat{AEN}={90}^{\circ }$.
- Ta có $\widehat{CEN}=\widehat{AEC}-\widehat{AEN}=112,5^{\circ }-{90}^{\circ }=22,5^{\circ }.$
- Xét $∆$AIE vuông tại I: $\widehat{AEI}={90}^{\circ }-22,5^{\circ }=67,5^{\circ }.$
- Kẻ EK $\perp$ Cx tại K. Ta sẽ thấy $∆$ACE và $∆$NCE có các mối quan hệ góc đặc biệt. Một cách khác là chứng minh $∆$ACE = $∆$NCE thông qua góc:
$\widehat{CAE}=22,5^{\circ }$ và $\widehat{CEN}=22,5^{\circ }.$
Kết hợp với AI = HC và các góc vuông, ta sử dụng tam giác bằng nhau để dẫn đến AE = EN.

Ta có tam giác ABCABCABC vuông cân tại AAA:

AB=ACAB = ACAB=AC
∠A=90∘\angle A = 90^\circ∠A=90∘
AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC
AEAEAE là phân giác của ∠HAC\angle HAC∠HAC, với E∈HCE \in HCE∈HC.

🔹 a) Chứng minh AI=HEAI = HEAI=HE
Kẻ EI⊥ACEI \perp ACEI⊥AC tại III.

Xét hai tam giác △AIE\triangle AIE△AIE và △AHE\triangle AHE△AHE
Ta có:

EI⊥ACEI \perp ACEI⊥AC ⇒ ∠AIE=90∘\angle AIE = 90^\circ∠AIE=90∘
AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC mà E∈HCE \in HCE∈HC ⇒ AH⊥HEAH \perp HEAH⊥HE ⇒ ∠AHE=90∘\angle AHE = 90^\circ∠AHE=90∘
⇒ Hai tam giác đều vuông.

Lại có:

AEAEAE chung
AEAEAE là phân giác góc HACHACHAC
⇒

∠IAE=∠HAE\angle IAE = \angle HAE∠IAE=∠HAEVậy:

Hai tam giác vuông có:

Cạnh huyền chung
Một góc nhọn bằng nhau
⇒

△AIE=△AHE\triangle AIE = \triangle AHE△AIE=△AHE(cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra:

AI=HEAI = HEAI=HE(đpcm)

🔹 b) Lấy K∈ABK \in ABK∈AB, MMM trên tia đối của ACACAC sao cho AK=AMAK = AMAK=AM
Ta có:

AB⊥ACAB \perp ACAB⊥AC
AMAMAM nằm trên tia đối của ACACAC
⇒

∠KAM=90∘\angle KAM = 90^\circ∠KAM=90∘Xét hai tam giác vuông △KAI\triangle KAI△KAI và △MAI\triangle MAI△MAI

Có:

AK=AMAK = AMAK=AM (gt)
AIAIAI chung
Góc xen giữa bằng nhau
⇒

Hai tam giác bằng nhau.

🔹 c) Chứng minh AE=ENAE = ENAE=EN
Vẽ:

Cx⊥ACCx \perp ACCx⊥AC
Qua EEE kẻ EN⊥AEEN \perp AEEN⊥AE
Xét hai tam giác △AEN\triangle AEN△AEN và △AEH\triangle AEH△AEH

Ta có:

∠AEN=90∘\angle AEN = 90^\circ∠AEN=90∘
∠AEH=90∘\angle AEH = 90^\circ∠AEH=90∘
AEAEAE chung
AEAEAE là phân giác
Suy ra hai tam giác bằng nhau.

⇒

AE=ENAE = ENAE=EN
✅ Kết luận
a) AI=HEAI = HEAI=HE
b) Cấu hình đối xứng qua AAA
c) AE=ENAE = ENAE=EN