Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả thiết
△ABC \triangle ABC△ABC vuông tại AAA
BDBDBD là phân giác góc BBB ( D∈ACD \in ACD∈AC )
DE⊥BCDE \perp BCDE⊥BC tại EEE
Kết luận cần chứng minh
a) BA=BEBA = BEBA=BE
b) BDBDBD là đường trung trực của AEAEAE
c) So sánh ADADAD và DCDCDC
d) AB,CK,DEAB, CK, DEAB,CK,DE đồng quy

a) Chứng minh BA=BEBA = BEBA=BE
Xét hai tam giác △ABD \triangle ABD△ABD và △EBD \triangle EBD△EBD:

BDBDBD chung
∠ABD=∠DBE\angle ABD = \angle DBE∠ABD=∠DBE (vì BDBDBD là phân giác góc BBB)
∠BAD=∠BED=90∘\angle BAD = \angle BED = 90^\circ∠BAD=∠BED=90∘
(vì ABCABCABC vuông tại AAA nên BA⊥ACBA \perp ACBA⊥AC; mà D∈ACD \in ACD∈AC ⇒ ∠BAD=90∘\angle BAD = 90^\circ∠BAD=90∘.
Lại có DE⊥BCDE \perp BCDE⊥BC ⇒ ∠BED=90∘\angle BED = 90^\circ∠BED=90∘)
Suy ra:

△ABD=△EBD(c.g.c)\triangle ABD = \triangle EBD \quad (c.g.c)△ABD=△EBD(c.g.c)⇒ BA=BEBA = BEBA=BE (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh BDBDBD là đường trung trực của AEAEAE
Từ câu a):

BA=BEBA = BEBA=BELại có:

DA=DE(hai cạnh tương ứng)DA = DE \quad (\text{hai cạnh tương ứng})DA=DE(hai cạnh tương ứng)⇒ DDD là trung điểm của AEAEAE.

Mặt khác:

∠ADB=∠EDB=90∘\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ∠ADB=∠EDB=90∘⇒ BD⊥AEBD \perp AEBD⊥AE

Vậy BDBDBD vừa đi qua trung điểm vừa vuông góc với AEAEAE

⇒ BDBDBD là đường trung trực của AEAEAE.

c) So sánh ADADAD và DCDCDC
Vì BDBDBD là phân giác góc BBB, theo định lý phân giác:

ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD=BCABTrong tam giác vuông tại AAA:

BC>ABBC > ABBC>AB⇒

ABBC<1\frac{AB}{BC} < 1BCAB<1⇒

AD<DCAD < DCAD<DC
d) Chứng minh AB,CK,DEAB, CK, DEAB,CK,DE đồng quy
Vẽ tia Cx∥AECx \parallel AECx∥AE, cắt BDBDBD tại KKK.

Ta có:

BDBDBD là trung trực của AEAEAE ⇒ AAA và EEE đối xứng nhau qua BDBDBD.
Cx∥AECx \parallel AECx∥AE ⇒ đường thẳng CKCKCK đối xứng với DEDEDE qua BDBDBD.
Mà:

ABABAB đối xứng với BEBEBE qua BDBDBD.
Do tính chất đối xứng trục, các cặp đường thẳng tương ứng sẽ cắt nhau tại cùng một điểm trên trục đối xứng.
Suy ra:

AB, CK, DEAB, \; CK, \; DEAB,CK,DEđồng quy tại một điểm nằm trên BDBDBD.

...Xem thêm

Answer 2