Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

- Ta có hệ phương trình:
$\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (1)
$\cos α + \cos β = \frac{\sqrt{6}}{2}$
(1) $\Rightarrow \sin^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
(2) $\Rightarrow \cos^{2} α + \cos^{2} β + 2 \cos α \cos β = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
=> $(\sin^{2} α + \cos^{2} α) + (\sin^{2} β + \cos^{2} β) + 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
=> $1 + 1 + 2 \cos (α - β) = 2$
=> $2 \cos (α - β) = 0 \Rightarrow \cos (α - β) = 0$
- Thay vì tìm trực tiếp $\sin (α + β)$ , ta quay lại hệ phương trình ban đầu và áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin α + \sin β = 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (3)$
$\cos α + \cos β = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} (4)$
=> Chia vế theo vế (3) cho (4): $\frac{2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})}{2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})} = \frac{\sqrt{2} / 2}{\sqrt{6} / 2}$
=> $\tan (\frac{α + β}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- Khi đã có $\tan (\frac{α + β}{2}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , ta sử dụng công thức nhân đôi theo $t = \tan \frac{x}{2}$ : $\sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$
- Đặt $x = α + β v à t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\sin (α + β) = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}$
=> $\sin (α + β) = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
=> $\sin (α + β) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy: $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

...Xem thêm

Answer 2

- Ta có hệ phương trình:
$\sin α + \sin β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (1)
$\cos α + \cos β = \frac{\sqrt{6}}{2}$
(1) $\Rightarrow \sin^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
(2) $\Rightarrow \cos^{2} α + \cos^{2} β + 2 \cos α \cos β = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
=> $(\sin^{2} α + \cos^{2} α) + (\sin^{2} β + \cos^{2} β) + 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
=> $1 + 1 + 2 \cos (α - β) = 2$
=> $2 \cos (α - β) = 0 \Rightarrow \cos (α - β) = 0$
- Thay vì tìm trực tiếp $\sin (α + β)$ , ta quay lại hệ phương trình ban đầu và áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin α + \sin β = 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (3)$
$\cos α + \cos β = 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} (4)$
=> Chia vế theo vế (3) cho (4): $\frac{2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})}{2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})} = \frac{\sqrt{2} / 2}{\sqrt{6} / 2}$
=> $\tan (\frac{α + β}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
- Khi đã có $\tan (\frac{α + β}{2}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , ta sử dụng công thức nhân đôi theo $t = \tan \frac{x}{2}$ : $\sin x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$
- Đặt $x = α + β v à t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\sin (α + β) = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}$
=> $\sin (α + β) = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
=> $\sin (α + β) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy: $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

1 câu trả lời 63

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11