Ta có giả thiết: 
SH $\perp$ (ABC) tại H
I là trung điểm AB, H là trung điểm BC.
MC = 2MI => $\frac{CI}{MI}=3\Rightarrow \frac{CM}{CI}=\frac{2}{3}$.
NA = 2NS $\Rightarrow \frac{SA}{SN}=3\Rightarrow \frac{SN}{SA}=\frac{1}{3}$.
- Trong mặt phẳng đáy (ABC), xét tam giác ABI và đường thẳng CI.
- Vì H là trung điểm BC, I là trung điểm AB, nên CI và AH là hai đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Gọi G là giao điểm của AH và CI. Theo tính chất trọng tâm tam giác ABC: $CG=\frac{2}{3}CI$
- Theo giả thiết MC = 2MI => CM = $\frac{2}{3}CI$.
=> Điểm M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
Vậy M nằm trên đoạn AH và AM = $\frac{2}{3}AH$.
- Xét tam giác SAH (nằm trong mặt phẳng (SAH)):
+ Điểm N $\in$ SA sao cho AN = 2NS => $\frac{AN}{AS}=\frac{2}{3}$.
+ Điểm M $\in$ AH sao cho AM = $\frac{2}{3}AH$ (chứng minh ở trên).
- Trong $∆$SAH, ta có: $\frac{AM}{AH}=\frac{AN}{AS}=\frac{2}{3}$.
- Theo định lý Thales đảo, ta suy ra MN // SH.
Vậy:  Ta có MN // SH mà SH $\perp$ (ABC).
Vậy MN $\perp$ (ABC) (đpcm).

$\color{black}{\textbf{Ví dụ 6:}}$
$\color{black}{\textbf{a) Tính các cạnh của } \triangle SIJ \text{ và chứng minh tam giác vuông:}}$

$\color{black}{\text{Vì } \triangle SAB \text{ đều cạnh } a, \text{ trung tuyến } SI \text{ đồng thời là đường cao: } SI = \frac{a\sqrt{3}}{2}\text{.}}$
$\color{black}{\text{Vì } \triangle SCD \text{ vuông cân tại } S, \text{ cạnh huyền } CD = a, \text{ trung tuyến } SJ = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}\text{.}}$
$\color{black}{\text{Vì } I, J \text{ là trung điểm hai cạnh đối của hình vuông } ABCD, \text{ nên } IJ = a\text{.}}$
$\color{black}{\text{Xét trong } \triangle SIJ, \text{ ta thấy: } SI^2 + SJ^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = a^2 = IJ^2\text{.}}$
$\color{black}{\text{Theo định lý Pytago đảo, } \triangle SIJ \text{ vuông tại } S\text{.}}$
$\color{black}{\textbf{b) Chứng minh } SI \perp (SCD) \text{ và } SJ \perp (SAB)\text{:}}$

$\color{black}{\text{Ta có: } CD \perp IJ \text{ và } CD \perp SJ \text{ (do } \triangle SCD \text{ cân tại } S\text{), suy ra } CD \perp (SIJ) \Rightarrow CD \perp SI\text{.}}$
$\color{black}{\text{Lại có } SI \perp SJ \text{ (chứng minh ở câu a). Vậy } SI \perp (SJ, CD) \text{ hay } SI \perp (SCD)\text{.}}$
$\color{black}{\text{Chứng minh tương tự: } AB \perp (SIJ) \Rightarrow AB \perp SJ\text{. Kết hợp } SJ \perp SI \Rightarrow SJ \perp (SAB)\text{.}}$
$\color{black}{\textbf{c) Chứng minh } SH \perp (ABCD)\text{:}}$

$\color{black}{\text{Ta có } AB \perp (SIJ) \text{ mà } SH \subset (SIJ) \Rightarrow SH \perp AB\text{.}}$
$\color{black}{\text{Theo cách dựng, } SH \perp IJ\text{.}}$
$\color{black}{\text{Vì } SH \perp AB \text{ và } SH \perp IJ, \text{ mà } AB, IJ \subset (ABCD), \text{ nên } SH \perp (ABCD)\text{.}}$

$\color{black}{\textbf{Ví dụ 7:}}$
$\color{black}{\textbf{Chứng minh } MN \perp (ABC)\text{:}}$

$\color{black}{\text{Trong mặt phẳng } (SAH), \text{ kẻ } NK // SH \text{ (với } K \in AH\text{). Vì } SH \perp (ABC) \text{ nên } NK \perp (ABC) \text{ (1).}}$
$\color{black}{\text{Theo định lý Thales trong } \triangle SAH, \text{ ta có: } \frac{AK}{AH} = \frac{AN}{AS} = \frac{2}{3} \Rightarrow \vec{AK} = \frac{2}{3}\vec{AH} \text{ (2).}}$
$\color{black}{\text{Xét trong } \triangle ABC, \text{ gọi } G \text{ là trọng tâm. Vì } AH \text{ là trung tuyến nên } \vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AH} \text{. Từ (2) suy ra } K \equiv G\text{.}}$
$\color{black}{\text{Mặt khác, trong } \triangle ABC, \text{ đường trung tuyến } CI \text{ cũng đi qua trọng tâm } G \text{ và thỏa mãn } CG = \frac{2}{3}CI \text{.}}$
$\color{black}{\text{Theo giả thiết } MC = 2MI \Rightarrow MC = \frac{2}{3}CI, \text{ do đó } M \equiv G\text{.}}$
$\color{black}{\text{Vì } M \equiv G \text{ và } K \equiv G, \text{ nên điểm } M \text{ trùng với điểm } K\text{.}}$
$\color{black}{\text{Từ (1), ta có } NK \perp (ABC) \text{ hay chính là } NM \perp (ABC)\text{.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$