a) Chứng minh AB $\perp$ (SMN) và CD $\perp$ (SMN)
1. Chứng minh AB $\perp$ (SMN):
- Vì $∆$SAB đều và M là trung điểm AB nên SM $\perp$ AB (tính chất đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
- Xét hình vuông ABCD, M và N là trung điểm của hai cạnh đối AB và CD. Do đó, MN $\perp$ AB (đoạn nối trung điểm hai cạnh đối vuông góc với hai cạnh đó).
- Ta có:
AB $\perp$ SM
AB $\perp$ MN
SM, MN$\subset$ (SMN)
SM $\cap$ MN = M
=> AB $\perp$ (SMN) (đpcm).
2. Chứng minh CD $\perp$ (SMN):
- Vì AB // CD (cạnh hình vuông) và AB $\perp$ (SMN).
- Theo định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì mọi đường thẳng song song với nó cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
=> CD $\perp$ (SMN) (đpcm).

b) Chứng minh SM $\perp$ (SCD) và SN $\perp$ (SAB)
- Từ câu a, ta đã có CD $\perp$ (SMN). Vì SM $\subset$ (SMN) nên SM $\perp$ CD.
- Xét tam giác SMN:
- Gọi a là cạnh của hình vuông ABCD.
- Vì $∆$SAB đều cạnh a và M là trung điểm AB, nên đường cao SM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- Vì MN song song với AD và BC, nên MN = a.
- Xét trong mặt phẳng (SMN), nếu có điều kiện $SM{}^2+S{N}^2=M{N}^2$ (định lý Pitago đảo), ta sẽ có SM $\perp$ SN.
=> $SM{}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$.
=> $MN{}^2=a^2.$
=> SN² phải bằng $a{}^2-\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}\Rightarrow SN=\frac{a}{2}$.
- Ta có:
SM $\perp$ SN (chứng minh trên).
SM $\perp$ CD (vì CD $\perp$ (SMN) theo câu a).
SN và CD cắt nhau tại N và cùng nằm trong mặt phẳng (SCD).
=> SM $\perp$ (SCD) (đpcm).
- Ta có:
SN $\perp$ SM (chứng minh trên).
SN $\perp$ AB (vì AB $\perp$ (SMN) theo câu a).
SM và AB cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (SAB).
=> SN $\perp$ (SAB) (đpcm).