Câu 1: Bảng ô vuông $4\times 4$ điền 1 hoặc -1
- Để tổng mỗi hàng và mỗi cột bằng 0, trong mỗi hàng (và mỗi cột) phải có đúng hai số 1 và hai số -1.
- Số cách chọn vị trí cho hai số 1 trong một hàng là $C_4^2=6$ cách.
- Tuy nhiên, các hàng phải ràng buộc với nhau để tổng các cột cũng bằng 0. Đây là bài toán đếm ma trận (0,1) có tổng hàng và cột cố định (ở đây thay 1 bằng 1 và -1 bằng 0).
=> Số cách điền cho bảng 4 $\times$ 4 thỏa mãn điều kiện này là 90 cách.

Câu 2: Xếp 3 nam, 3 nữ xen kẽ sao cho Đức (nam) và Quỳnh (nữ) ngồi cạnh nhau
Trường hợp 1: Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ
+ Để Đức và Quỳnh cạnh nhau, cặp (Đức, Quỳnh) có thể ở các vị trí: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).
+ Vì xếp xen kẽ, Đức (Nam) phải ở vị trí lẻ, Quỳnh (Nữ) ở vị trí chẵn hoặc ngược lại.
+ Các vị trí cặp (Đức, Quỳnh) thỏa mãn là: (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6).
+ Nếu Đức vị trí 1, Quỳnh vị trí 2: 2! cách xếp nam còn lại, 2! cách xếp nữ còn lại = 4 cách.
+ Tương tự cho các cặp vị trí khác. Tổng cộng có 5 vị trí $\times$4 = 20 cách.
Trường hợp 2: Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam|
+ Tương tự như trên, có 5 vị trí cặp (Đức, Quỳnh) $\times$ 4 = 20 cách.
+ Tổng cộng: 20 + 20 = 40 cách.
Câu 3: Chọn học sinh đi mùa hè xanh
- Tính a: Chọn 5 học sinh có 2 nữ, 2 nam => Vô lý vì 2 + 2 = 4 chứ không phải 5.
- Nếu đề là 2 nữ, 3 nam: a = $C_{10}^2 \times C_{10}^3$ = 45 $\times$ 120 = 5.400.
- Nếu đề là 3 nữ, 2 nam: a = $C_{10}^3\times C_{10}^2$= 120 $\times$ 45 = 5.400.
Tính b: Chọn 5 học sinh có ít nhất 1 nữ và 1 nam.
b = (Tổng cách chọn 5 người) - (Toàn nam) - (Toàn nữ)
b = $C_{20}^5-C_{10}^5-C_{10}^5$ = 15.504 - 252 - 252 = 15.000.
Lưu ý: Do câu hỏi $a$ bị thiếu dữ kiện số lượng học sinh thứ 5, bạn vui lòng kiểm tra lại đề mục này.
Câu 4: Tìm n thỏa mãn P_n - P_n+1 = (n - 1)Pn-1
Điều kiện: $n\ge 1,n\in N$.
- Phương trình tương đương: n! - (n+1)! = (n-1)(n-1)!
=> n! - (n+1)n! = (n-1)! (n-1)
=> n!(1 - n - 1) = (n-1)! (n-1)
=> n! (-n) = (n-1)! (n-1)
- Vì $n\ge 1$, vế trái luôn $\le 0$ còn vế phải $\ge 0$.
- Nếu n = 1: 1!(-1) = 0!(0) => -1 = 0 (Loại).
- Nếu n > 1: Vế trái âm, vế phải dương.
Vậy: Không có số tự nhiên n nào thỏa mãn. (Có thể đề bài gốc là $P_{n+1}-P_n$, bạn hãy kiểm tra lại dấu nhé).