Chào bạn, đây là một bài toán hình học lớp 7 rất điển hình về tính chất tia phân giác và đường trung trực. Mình sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết từng câu nhé!

Giả thiết & Kết luận
GT: $\widehat{xOy} < 180^\circ$; $Oz$ là phân giác $\widehat{xOy}$; $M \in Oz$.

$MA \perp Ox$ ($A \in Ox$); $MB \perp Oy$ ($B \in Oy$).

$MA \cap Oy = \{C\}$; $MB \cap Ox = \{D\}$.
KL:

a) $O$ thuộc trung trực $AB$.

b) $OM$ là trung trực $AB$.

c) $OM$ là trung trực $CD$.

d) $AB \parallel CD$.

Chứng minh
a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB
Xét $\triangle OAM$ (vuông tại $A$) và $\triangle OBM$ (vuông tại $B$):

$OM$ là cạnh huyền chung.
$\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (vì $Oz$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$).

$\Rightarrow \triangle OAM = \triangle OBM$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow OA = OB$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $OA = OB$ nên điểm $O$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$.

Vậy $O$ thuộc đường trung trực của $AB$.
b) OM là đường trung trực của AB
Từ chứng minh ở câu a, ta có:

$OA = OB$ (nên $O$ thuộc trung trực $AB$).
$MA = MB$ (do $\triangle OAM = \triangle OBM$, hai cạnh tương ứng).

Vì $MA = MB$ nên điểm $M$ cũng cách đều hai đầu mút $A$ và $B$.

$\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vì cả $O$ và $M$ đều thuộc đường trung trực của $AB$ nên đường thẳng nối hai điểm này là đường trung trực.

Vậy $OM$ là đường trung trực của $AB$.
c) OM là đường trung trực của CD
Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OBC$:

$\widehat{O}$ chung.
$OA = OB$ (chứng minh trên).
$\widehat{OAD} = \widehat{OBC} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \triangle OAD = \triangle OBC$ (g.c.g).

$\Rightarrow OD = OC$ (hai cạnh tương ứng).

Tương tự như câu b:
$OD = OC \Rightarrow O$ thuộc trung trực $CD$.
Xét $\triangle MAD$ và $\triangle MBC$: $\widehat{MAD} = \widehat{MBC} = 90^\circ$, $MA = MB$, $\widehat{AMD} = \widehat{BMC}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \triangle MAD = \triangle MBC$ (g.c.g) $\Rightarrow MD = MC \Rightarrow M$ thuộc trung trực $CD$.

Vậy $OM$ là đường trung trực của $CD$.
d) AB // CD
Theo tính chất đường trung trực:

$OM$ là trung trực của $AB \Rightarrow OM \perp AB$.
$OM$ là trung trực của $CD \Rightarrow OM \perp CD$.

Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Vậy $AB \parallel CD$.

Mẹo nhỏ: Khi làm bài này, bạn chỉ cần nhớ quy tắc: "Để chứng minh một đường thẳng là trung trực, hãy chỉ ra có ít nhất 2 điểm trên đường thẳng đó cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng".