Giả thiết – Kết luận
Giả thiết:

Trong ΔABC, hai đường phân giác của ∠B và ∠C cắt nhau tại D.
DP ⟂ BC, DQ ⟂ CA, DR ⟂ AB.
Kết luận:
a) DP = DR
b) DP = DQ
c) Suy ra DR = DQ và giải thích vì sao D nằm trên tia phân giác của ∠A.

a) Giải thích vì sao DP = DR
Xét hai tam giác vuông ΔDBP và ΔDBR:

∠DPB = ∠DRB = 90° (do DP ⟂ BC, DR ⟂ AB)
DB là cạnh chung
∠PDB = ∠BDR (do D nằm trên tia phân giác của góc B)
⇒ ΔDBP = ΔDBR (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DP = DR

b) Giải thích vì sao DP = DQ
Xét hai tam giác vuông ΔDCP và ΔDCQ:

∠DPC = ∠DQC = 90° (do DP ⟂ BC, DQ ⟂ CA)
DC là cạnh chung
∠PDC = ∠QDC (do D nằm trên tia phân giác của góc C)
⇒ ΔDCP = ΔDCQ (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DP = DQ

c) Suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?
Từ câu a và b, ta có:

DP = DR
DP = DQ
⇒ DR = DQ

Mà:

DR là khoảng cách từ D đến cạnh AB
DQ là khoảng cách từ D đến cạnh AC
⇒ D cách đều hai cạnh AB và AC

Theo tính chất hình học:

Điểm nằm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó
⇒ D nằm trên tia phân giác của góc A

Kết luận chung (ý nghĩa định lí)
Điểm D là giao điểm các đường phân giác của ∠B và ∠C, lại nằm trên tia phân giác của ∠A.
Vậy ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại một điểm.

👉 Đây chính là Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.

$\color{blue}{\text{Giải bài toán}}$
$\color{blue}{\text{**a) Tại sao } DP = DR?}$

$\color{blue}{\text{Xét tam giác } ABC \text{ có } BD \text{ là tia phân giác của góc } B.}$
$\color{blue}{\text{Theo giả thiết, } DP \perp BC \text{ tại } P \text{ và } DR \perp AB \text{ tại } R. \text{ Như vậy, } DP \text{ và } DR \text{ lần lượt là khoảng cách từ điểm } D \text{ đến hai cạnh } BC \text{ và } AB \text{ của góc } B.}$
$\color{blue}{\text{Áp dụng định lí về tính chất tia phân giác: "Mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó".}}$
$\color{blue}{\text{Do đó, ta có: } \mathbf{DP = DR.}}$

$\color{blue}{\text{**b) Tại sao } DP = DQ?}$

$\color{blue}{\text{Xét tam giác } ABC \text{ có } CD \text{ là tia phân giác của góc } C.}$
$\color{blue}{\text{Theo giả thiết, } DP \perp BC \text{ tại } P \text{ và } DQ \perp AC \text{ tại } Q. \text{ Như vậy, } DP \text{ và } DQ \text{ lần lượt là khoảng cách từ điểm } D \text{ đến hai cạnh } BC \text{ và } AC \text{ của góc } C.}$
$\color{blue}{\text{Tương tự như câu a, theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có: } \mathbf{DP = DQ.}}$

$\color{blue}{\text{**c) Tại sao } D \text{ nằm trên tia phân giác của góc } A?}$

$\color{blue}{\text{Từ kết quả câu a và câu b, ta có: } DP = DR \text{ và } DP = DQ. \text{ Bắc cầu qua } DP, \text{ ta suy ra: } \mathbf{DR = DQ.}}$
$\color{blue}{\text{Điểm } D \text{ nằm trong góc } A \text{ và thỏa mãn } DR = DQ. \text{ Trong đó } DR \text{ là khoảng cách từ } D \text{ đến cạnh } AB, \text{ và } DQ \text{ là khoảng cách từ } D \text{ đến cạnh } AC.}$
$\color{blue}{\text{Áp dụng định lí đảo của tính chất tia phân giác: "Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó".}}$
$\color{blue}{\text{Vậy, } \mathbf{D \text{ nằm trên tia phân giác của góc } A.}}$

$\color{blue}{\text{Kết luận}}$
$\color{blue}{\text{Qua việc chứng minh } DR = DQ \text{ dựa trên các tia phân giác của góc } B \text{ và } C, \text{ ta đã khẳng định được } D \text{ cũng thuộc tia phân giác của góc } A. \text{ Đây chính là nội dung của Định lí: **Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.**}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$