Tổng số bi trong hộp: 5 + 6 + 7 = 18 viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên từ 18 viên (Không gian mẫu):
$n\left(\mathrm{\Omega }\right)=C_{18}^5=\frac{18!}{5!(18-5)!}=8.568$
a. 5 viên bi màu đỏ
Để chọn được 5 viên màu đỏ, ta phải chọn trong số 6 viên đỏ hiện có.
Số cách chọn: $\left(A\right)=C_6^5=6$
Xác suất: $\left(A\right)=\frac{6}{8.568}\approx 0,0007$
b. 5 viên bi có đủ 3 màu
- Với trường hợp này, ta nên dùng phương pháp gián tiếp (lấy tổng trừ đi các trường hợp thiếu màu) hoặc liệt kê các nhóm. Tuy nhiên, liệt kê các trường hợp tổng bằng 5 sẽ rõ ràng nhất:
(1X, 1Đ, 3V): $C_5^1\cdot C_6^1\cdot C_7^3=5\cdot 6\cdot 35=1.050$
(1X, 2Đ, 2V): $C_5^1\cdot C_6^2\cdot C_7^2=5\cdot 15\cdot 21=1.575$
(1X, 3Đ, 1V): $C_5^1\cdot C_6^3\cdot C_7^1=5\cdot 20\cdot 7=700$
(2X, 1Đ, 2V): $C_5^2\cdot C_6^1\cdot C_7^2=10\cdot 6\cdot 21=1.260$
(2X, 2Đ, 1V): $C_5^2\cdot C_6^2\cdot C_7^1=10\cdot 15\cdot 7=1.050$
(3X, 1Đ, 1V): $C_5^3\cdot C_6^1\cdot C_7^1=10\cdot 6\cdot 7=420$
Tổng số cách chọn: n(B) = 1.050 + 1.575 + 700 + 1.260 + 1.050 + 420 = 6.055
Xác suất: $\left(B\right)=\frac{6.055}{8.568}\approx 0,7067$
c. 5 viên đủ 3 màu và số bi đỏ bằng số bi vàng
- Từ danh sách liệt kê ở câu (b), ta chỉ chọn các trường hợp có số đỏ = số vàng:
+ Trường hợp (1X, 2Đ, 2V): 1.575 cách.
+ Trường hợp (3X, 1Đ, 1V): 420 cách.
Tổng số cách chọn: n(C) = 1.575 + 420 = 1.995
Xác suất: $P\left(C\right)=\frac{1.995}{8.568}\approx 0,2328$
d. 5 viên bi có ít nhất 2 bi xanh
- Sử dụng biến cố đối sẽ nhanh hơn: "Có ít hơn 2 bi xanh" (nghĩa là 0 bi xanh hoặc 1 bi xanh).
+ TH0: Không có bi xanh (chọn 5 bi từ 13 bi Đỏ và Vàng): $C_{13}^5=1.287$
+ TH1: Có đúng 1 bi xanh (chọn 1 bi xanh và 4 bi từ 13 bi còn lại): $C_5^1\cdot C_{13}^4=5\cdot 715=3.575$
=> Số cách chọn có ít nhất 2 bi xanh: n(D) = 8.568 - (1.287 + 3.575) = 3.706
=> Xác suất: P(D) = $\frac{3.706}{8.568}\approx 0,4325$