Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (cm) và các đường cao tương ứng là $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ (cm).
- Theo đề bài, ta có chu vi: a + b + c = 62 (1)
- Diện tích tam giác $S$ không đổi, ta có: $S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} = c \cdot h_{c}$
=> $h_{a} = \frac{2 S}{a}; h_{b} = \frac{2 S}{b}; h_{c} = \frac{2 S}{c}$
- Theo đề bài, tổng từng đôi một của các đường cao tỉ lệ với 5, 7, 8:

$\frac{h_{a} + h_{b}}{5} = \frac{h_{b} + h_{c}}{7} = \frac{h_{c} + h_{a}}{8} = k$
- Từ đó ta suy ra:
$h_{a} + h_{b} = 5 k$
$h_{b} + h_{c} = 7 k$
$h_{c} + h_{a} = 8 k$
- Cộng cả 3 phương trình trên: 2(h_a + h_b + h_c) = 20k => h_a + h_b + h_c = 10k.
- Bằng cách trừ đi từng phương trình, ta tìm được giá trị của mỗi đường cao theo k:
$h_{c} = 10 k - 5 k = 5 k$
$h_{a} = 10 k - 7 k = 3 k$
$h_{b} = 10 k - 8 k = 2 k$
- Thay h_a, h_b, h_c vào công thức diện tích ở bước 1: $a . 3 k = b . 2 k = c . 5 k$
=> 3a = 2b = 5c
- Để tìm tỉ lệ a:b:c, ta chia các vế cho bội chung nhỏ nhất của 3, 2, 5 là 30: $\frac{3 a}{30} = \frac{2 b}{30} = \frac{5 c}{30} \Rightarrow \frac{a}{10} = \frac{b}{15} = \frac{c}{6}$
4. Tính độ dài cụ thể
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và thay chu vi vào: $\frac{a}{10} = \frac{b}{15} = \frac{c}{6} = \frac{a + b + c}{10 + 15 + 6} = \frac{62}{31} = 2$
- Vậy độ dài các cạnh là:
$a = 10 \times 2 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦$
$b = 15 \times 2 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦$
$c = 6 \times 2 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦$

...Xem thêm

Answer 2

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c (cm) và các đường cao tương ứng là $h_{a}, h_{b}, h_{c}$ (cm).
- Theo đề bài, ta có chu vi: a + b + c = 62 (1)
- Diện tích tam giác $S$ không đổi, ta có: $S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} = c \cdot h_{c}$
=> $h_{a} = \frac{2 S}{a}; h_{b} = \frac{2 S}{b}; h_{c} = \frac{2 S}{c}$
- Theo đề bài, tổng từng đôi một của các đường cao tỉ lệ với 5, 7, 8:

$\frac{h_{a} + h_{b}}{5} = \frac{h_{b} + h_{c}}{7} = \frac{h_{c} + h_{a}}{8} = k$
- Từ đó ta suy ra:
$h_{a} + h_{b} = 5 k$
$h_{b} + h_{c} = 7 k$
$h_{c} + h_{a} = 8 k$
- Cộng cả 3 phương trình trên: 2(h_a + h_b + h_c) = 20k => h_a + h_b + h_c = 10k.
- Bằng cách trừ đi từng phương trình, ta tìm được giá trị của mỗi đường cao theo k:
$h_{c} = 10 k - 5 k = 5 k$
$h_{a} = 10 k - 7 k = 3 k$
$h_{b} = 10 k - 8 k = 2 k$
- Thay h_a, h_b, h_c vào công thức diện tích ở bước 1: $a . 3 k = b . 2 k = c . 5 k$
=> 3a = 2b = 5c
- Để tìm tỉ lệ a:b:c, ta chia các vế cho bội chung nhỏ nhất của 3, 2, 5 là 30: $\frac{3 a}{30} = \frac{2 b}{30} = \frac{5 c}{30} \Rightarrow \frac{a}{10} = \frac{b}{15} = \frac{c}{6}$
4. Tính độ dài cụ thể
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và thay chu vi vào: $\frac{a}{10} = \frac{b}{15} = \frac{c}{6} = \frac{a + b + c}{10 + 15 + 6} = \frac{62}{31} = 2$
- Vậy độ dài các cạnh là:
$a = 10 \times 2 = 𝟐𝟎 𝐜𝐦$
$b = 15 \times 2 = 𝟑𝟎 𝐜𝐦$
$c = 6 \times 2 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦$

Answer 3

Đề bài (hiểu lại cho rõ)
Chu vi tam giác: 62 cm
Gọi ba đường cao tương ứng là ha,hb,hch_a, h_b, h_cha,hb,hc
Tổng của hai đường cao (lần lượt) tỉ lệ với 5 : 7 : 8, tức là:
(hb+hc):(hc+ha):(ha+hb)=5:7:8(h_b+h_c):(h_c+h_a):(h_a+h_b)=5:7:8(hb+hc):(hc+ha):(ha+hb)=5:7:8Tìm độ dài ba cạnh của tam giác.

Bước 1: Liên hệ giữa đường cao và cạnh
Với tam giác có diện tích SSS:

ha=2Sa,hb=2Sb,hc=2Sch_a=\frac{2S}{a},\quad h_b=\frac{2S}{b},\quad h_c=\frac{2S}{c}ha=a2S,hb=b2S,hc=c2SSuy ra:

ha:hb:hc=1a:1b:1ch_a : h_b : h_c = \frac1a : \frac1b : \frac1cha:hb:hc=a1:b1:c1Đặt:

1a=u,1b=v,1c=w\frac1a=u,\quad \frac1b=v,\quad \frac1c=wa1=u,b1=v,c1=w
Bước 2: Lập tỉ lệ theo đề bài
Theo đề:

v+w:w+u:u+v=5:7:8v+w : w+u : u+v = 5 : 7 : 8v+w:w+u:u+v=5:7:8Suy ra:

{v+w=5tw+u=7tu+v=8t\begin{cases} v+w=5t\\ w+u=7t\\ u+v=8t \end{cases}⎩⎨⎧v+w=5tw+u=7tu+v=8tGiải hệ:

Cộng (1) và (2), trừ (3):
(v+w)+(w+u)−(u+v)=5t+7t−8t⇒2w=4t⇒w=2t(v+w)+(w+u)-(u+v)=5t+7t-8t \Rightarrow 2w=4t \Rightarrow w=2t(v+w)+(w+u)−(u+v)=5t+7t−8t⇒2w=4t⇒w=2tv=5t−2t=3tv=5t-2t=3tv=5t−2t=3t
u=7t−2t=5tu=7t-2t=5tu=7t−2t=5t
Vậy:

u:v:w=5:3:2u:v:w = 5:3:2u:v:w=5:3:2
Bước 3: Suy ra tỉ lệ các cạnh
a:b:c=1u:1v:1w=15:13:12a:b:c=\frac1u:\frac1v:\frac1w = \frac15:\frac13:\frac12a:b:c=u1:v1:w1=51:31:21Nhân cả ba với 30:

a:b:c=6:10:15a:b:c=6:10:15a:b:c=6:10:15
Bước 4: Tính độ dài cụ thể
Tổng:

6+10+15=316+10+15=316+10+15=31Chu vi thật là 62 cm ⇒ hệ số tỉ lệ là 2

a=12 cm,b=20 cm,c=30 cma=12\text{ cm},\quad b=20\text{ cm},\quad c=30\text{ cm}a=12 cm,b=20 cm,c=30 cm
✅ Kết luận
Độ dài ba cạnh của tam giác là:

12 cm, 20 cm, 30 cm\boxed{12\text{ cm},\;20\text{ cm},\;30\text{ cm}}12 cm,20 cm,30 cmNếu bạn muốn, mình có thể:

Vẽ hình minh họa
Giải theo cách phù hợp chương trình THCS
Hoặc biến bài này thành bài tương tự để luyện tập

...Xem thêm

Answer 4