- Xét hàm số f(x) = $\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$
+ Khi $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$, ta có cung $u=x+\frac{\pi }{4}$ sẽ thuộc đoạn$\frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$
- Sử dụng vòng tròn lượng giác để quan sát giá trị của sin trong đoạn $[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]$:
+ Tại x = 0 => f(0) = $\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$.
+ Tại x = $\frac{\pi }{4}$ => f $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ = $\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$ (Giá trị cực đại).
+ Tại x = $\frac{\pi }{2}$ =>$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$.
a) Có nghiệm x $\in [0;\frac{\pi }{2}]$
- Trên đoạn $[0;\frac{\pi }{2}]$, hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 1 (tại x = 0 và x = $\frac{\pi }{2}$) và giá trị lớn nhất là $\sqrt{2}$ (tại $x=\frac{\pi }{4}$).
- Để phương trình f(x) = m có nghiệm, m phải nằm trong tập giá trị của hàm số:
Đáp số: $1\le m\le \sqrt{2}$.
b) Có nghiệm $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$
- Trên khoảng $\left(0; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$, hai đầu mút x = 0 và x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$không được lấy.
- Tại hai đầu mút, f(x) = 1. Vì khoảng (0; $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$) không bao gồm 0 và $\frac{\pi }{2}$, nên giá trị f(x) sẽ lớn hơn 1.
- Tuy nhiên, điểm x = $\frac{\pi }{4}$ nằm trong khoảng (0; $\frac{\pi }{2})$, tại đó f(x) vẫn đạt được giá trị cực đại là $\sqrt{2}$.
Đáp số: 1 < m $\le$ $\sqrt{2}$.