Tóm tắt

Dựng hệ trục tọa độ hoặc vẽ hình để mô tả các vị trí:
AB = 25 km, BC = 20 km.
P, Q là trung điểm AD và BC nên đoạn PQ nằm giữa và song song với AB, DC. Khoảng cách từ A đến PQ là 10 km, từ PQ đến C cũng là 10 km.
Đặt PX = x (km). Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 25.
Độ dài đoạn đường AX (trong vùng vận tốc v₁​ = 15 km/h): AX = AP² + PX² ​= 10² + x² ​.
Độ dài đoạn đường XC (trong vùng vận tốc v₂ ​= 30 km/h): XC = CQ² + QX² ​=10² + (25 − x)² ​.
Giải
Tổng thời gian T(x) để ngựa đi từ A đến C là:
T(x) = $\frac{\sqrt{x^2 +\hspace{0.17em}100}}{15} +\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{{\left(25 - x\right)}^2 +\hspace{0.17em}100}}{30}$ ​​
Để tìm thời gian ít nhất, ta tính đạo hàm T′(x) và cho T′(x) = 0:
T′(x) = $\frac{x}{15\sqrt{x^2 +\hspace{0.17em}100}} - \frac{25 - x}{30\sqrt{{(25 - x)}^2 +\hspace{0.17em}100}} = 0$
⇔ $\frac{2x}{\sqrt{x^2 +\hspace{0.17em}100}} = \frac{25 - x}{\sqrt{\left(25 - x^2\right) +\hspace{0.17em}100}}$
=> $\frac{4x^2}{x^2+100}=\frac{{(25-x)}^2}{{(25-x)}^2+100}$
=> $4x^2[{(25 - x)}^2 +\hspace{0.17em}100] = {(25 - x)}^2(x^2 +\hspace{0.17em}100)$
=> $4x^2(625 - 50x + x^2 + 100) = \left(625 - 50x + x^2\right)(x^2 + 100)$
=> $4x^2 \left(725 - 50x +\hspace{0.17em}{x}^2\right) = (625 - 50x + x^2)(x^2 +\hspace{0.17em}100)$
=> $4x^4 - 200x^3 +\hspace{0.17em}2900x^2 = x^4 - 50x^3 +\hspace{0.17em}625x^2 +\hspace{0.17em}100x^2 - 5000x+\hspace{0.17em}62500$
=> $3x^4 - 150x^3 +\hspace{0.17em}2175x^2 + 5000x - 62500 = 0$
(Dùng máy tính casio giải phương trình bậc 4)
Ta có nghiệm x = 5 thỏa mãn 0 $\le$x $\le$25
=> Thay x = 5​ vào biểu thức T(x):
=> T(5)  = $\frac{\sqrt{{{\displaystyle 5}}^2+100}}{15} +\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{{\left(25 - 5\right)}^2 +\hspace{0.17em}100}}{30}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{3}$(giờ)
=> a = 2; b = 5; c = 3
Vậy: a + b + c = 10