Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ ACD = $∆$ ECD và DE $⊥$ BC
- Xét $∆$ ACD và $∆$ ECD có:
CA = CE (giả thiết).
$\hat{A C D} = \hat{E C D}$ (vì CD là tia phân giác của $\hat{C}$ ).
CD là cạnh chung.
=> $∆$ ACD = $∆$ ECD (cạnh - góc - cạnh).
=> DE $⊥$ BC:
Từ $∆$ ACD = $∆$ ECD => $\hat{C A D} = \hat{C E D}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\hat{C A D} = 90^{\circ}$ (do $∆$ ABC vuông tại A).
=> $\hat{C E D} = 90^{\circ}$ .
Vậy DE $⊥$ BC tại E.
b) Chứng minh AM = CD
- Xét tứ giác ACDM (hoặc xét các tam giác):
+ Ta có AM // CD (giả thiết).
+ Đường thẳng d vuông góc với AC tại C, mà AB cũng vuông góc với AC tại A.
=> AM // AB là không đúng, ta xét: d $⊥$ AC và AB $⊥$ AC nên d // AB.
+ Vì M nằm trên d nên CM // AD.
- Xét $∆$ AMC và $∆$ CDA:
AC là cạnh chung.
$\hat{M A C} = \hat{D C A}$ (hai góc so le trong do AM // CD).
$\hat{M C A} = \hat{D A C} = 90^{\circ}$ (do d $⊥$ AC và AB $⊥$ AC).
=> $∆$ AMC = $∆$ CDA (góc - cạnh - góc).
=> AM = CD (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh NK $⊥$ BC và K, D, E thẳng hàng
1. Chứng minh NK $⊥$ BC:
- Trong $∆$ BCK:
CA $⊥$ BK (vì CA $⊥$ AB, K nằm trên đường thẳng AC).
=> CA là đường cao thứ nhất.
BN $⊥$ CD (giả thiết).=> BN là đường cao thứ hai.
+ Hai đường cao CA và BN cắt nhau tại D.
=> D là trực tâm của $∆$ BCK.
- Suy ra đường thẳng đi qua K và D (tức là KD) phải vuông góc với cạnh đối diện BC.
Mà theo câu (a), ta đã có DE $⊥$ BC.
- Từ một điểm D trên mặt phẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với BC.
Do đó, K, D, E phải cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC.
Vậy:
+ Vì D là trực tâm nên KD $⊥$ BC.
Mà DE $⊥$ BC (cmt).
=> K, D, E thẳng hàng và đường thẳng này (chứa NK nếu N nằm trên đó) vuông góc với BC.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ ACD = $∆$ ECD và DE $⊥$ BC
- Xét $∆$ ACD và $∆$ ECD có:
CA = CE (giả thiết).
$\hat{A C D} = \hat{E C D}$ (vì CD là tia phân giác của $\hat{C}$ ).
CD là cạnh chung.
=> $∆$ ACD = $∆$ ECD (cạnh - góc - cạnh).
=> DE $⊥$ BC:
Từ $∆$ ACD = $∆$ ECD => $\hat{C A D} = \hat{C E D}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\hat{C A D} = 90^{\circ}$ (do $∆$ ABC vuông tại A).
=> $\hat{C E D} = 90^{\circ}$ .
Vậy DE $⊥$ BC tại E.
b) Chứng minh AM = CD
- Xét tứ giác ACDM (hoặc xét các tam giác):
+ Ta có AM // CD (giả thiết).
+ Đường thẳng d vuông góc với AC tại C, mà AB cũng vuông góc với AC tại A.
=> AM // AB là không đúng, ta xét: d $⊥$ AC và AB $⊥$ AC nên d // AB.
+ Vì M nằm trên d nên CM // AD.
- Xét $∆$ AMC và $∆$ CDA:
AC là cạnh chung.
$\hat{M A C} = \hat{D C A}$ (hai góc so le trong do AM // CD).
$\hat{M C A} = \hat{D A C} = 90^{\circ}$ (do d $⊥$ AC và AB $⊥$ AC).
=> $∆$ AMC = $∆$ CDA (góc - cạnh - góc).
=> AM = CD (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh NK $⊥$ BC và K, D, E thẳng hàng
1. Chứng minh NK $⊥$ BC:
- Trong $∆$ BCK:
CA $⊥$ BK (vì CA $⊥$ AB, K nằm trên đường thẳng AC).
=> CA là đường cao thứ nhất.
BN $⊥$ CD (giả thiết).=> BN là đường cao thứ hai.
+ Hai đường cao CA và BN cắt nhau tại D.
=> D là trực tâm của $∆$ BCK.
- Suy ra đường thẳng đi qua K và D (tức là KD) phải vuông góc với cạnh đối diện BC.
Mà theo câu (a), ta đã có DE $⊥$ BC.
- Từ một điểm D trên mặt phẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với BC.
Do đó, K, D, E phải cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC.
Vậy:
+ Vì D là trực tâm nên KD $⊥$ BC.
Mà DE $⊥$ BC (cmt).
=> K, D, E thẳng hàng và đường thẳng này (chứa NK nếu N nằm trên đó) vuông góc với BC.

1 câu trả lời 112

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7