Giả thiết
sin⁡x+cos⁡x=m
A) Tìm sin⁡x ⋅ cos⁡x và ∣sin⁡⁴ x −cos⁡⁴x∣

1. Tìm sin⁡x⋅cos⁡x
Bình phương hai vế của:

sin⁡x+cos⁡x=m

Ta có:

(sin⁡x+cos⁡x)²=m²

Khai triển:

sin⁡²x+cos⁡²x+2sin⁡xcos⁡x=m²

Nhớ rằng:

sin⁡²x+cos^⁡2x=1

Suy ra:

1+2sin⁡xcos⁡x=m²

2sinxcosx=m²−1

sin⁡xcos⁡x=$\frac{m^2-1}{2}$
2. Tìm ∣sin⁡⁴x−cos⁡⁴x∣
Ta biến đổi:

sin^⁡4x−cos⁡⁴x

Áp dụng hằng đẳng thức:

a⁴−b⁴=(a²−b²)(a²+b²)

Suy ra:

sin⁡⁴x−cos^⁡4x=(sin^⁡2x−cos⁡²x)(sin⁡²x+cos⁡²x)

Mà:

sin⁡²x+cos^⁡2x=1

Nên:

sin⁡⁴x−cos⁡⁴x=sin^⁡2x−cos⁡²x

Tính ∣sin⁡²x−cos⁡²x∣
Ta có:

(sin⁡x−cos⁡x)²=sin^⁡2x+cos⁡²x−2sin⁡xcos⁡x

(sinx−cosx)²=1−2sin⁡xcos⁡x

Thay sin⁡xcos⁡x=$\frac{m^2-1}{2}$

(sin⁡x−cos⁡x)²=1−(m²−1)=2−m²

Suy ra:

∣sin⁡x−cos⁡x∣=$\sqrt{2-m^2}$

​Ta có:

sin⁡²x−cos²⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)

Lấy giá trị tuyệt đối:

∣sin⁡²x−cos⁡²x∣=∣sin⁡x−cos⁡x∣⋅∣sin⁡x+cos⁡x∣

=$\sqrt{2-m^2}.\left|m\right|$
✅ Kết quả câu A
sin⁡xcos⁡x=$\frac{m^2-1}{2}$

∣sin⁡4x−cos⁡4x∣=$\left|m\right|.\sqrt{2-m^2}$
B) Chứng minh ∣m∣≤2
Ta có:

sin⁡x+cos⁡x=m

Bình phương hai vế:

m²=(sin⁡x+cos⁡x)²

m²=sin²x+cos²x+2sinxcosx

m²=1+2sinxcosx

Vì:

​Suy ra:

−1≤ 2sin⁡xcos⁡x ≤1

0≤1+2sin⁡xcos⁡x≤2 

∣m∣≤$\sqrt{2}$