a) So sánh các góc của tam giác ABC
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.
- Xét $∆$ABC có:
BC = 8 cm
AC = 6 cm
AB = 4 cm
- Vì BC > AC > AB (8 > 6 > 4) nên các góc đối diện tương ứng là: $\hat{A} > \hat{B} > \hat{C}$
b) Chứng minh DA = DE
- Xét $∆$ABD vuông tại A (giả sử $∆$ABC có $\hat{A}$ vuông, nhưng đề không cho, tuy nhiên tính chất phân giác vẫn xét trên tam giác vuông được tạo ra).
- Xét hai tam giác vuông $∆$ABD và $∆$EBD:
+ Cạnh huyền BD chung.
+ $\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (do BD là tia phân giác của $\hat{B}$).
+ BAD = BED = 90 (Giả thiết AB $\perp$ AC tại A - Lưu ý: Đề bài cần cho thêm $∆$ABC vuông tại A để DA$\perp$AB. Nếu không, ta xét khoảng cách từ D đến hai cạnh của góc B).
- Theo tính chất tia phân giác: "Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó".
- Vì D thuộc tia phân giác BD của $\widehat{ABC}$, DA $\perp$AB và DE $\perp$BC nên: DA = DE (đpcm).
c) Chứng minh $∆$ADF = $∆$EDC và DF > DE
* Chứng minh $∆$ADF = $∆$EDC:
- Xét hai tam giác vuông $∆$ADF và $∆$EDC:
+ DA = DE (chứng minh ở câu b).
+ $\widehat{ADF} = \widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh).
+ $\widehat{FAD}$ = $\widehat{CED}$ = 90$°$.
Vậy $∆$ADF = $∆$EDC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
*Chứng minh DF > DE:
- Từ $∆$ADF = $∆$EDC, ta suy ra các cạnh tương ứng: DF = DC (1).
- Xét $∆$EDC vuông tại E, cạnh huyền DC luôn lớn hơn cạnh góc vuông DE: DC > DE
 Từ (1), ta suy ra: DF > DE (đpcm).

Đây là một bài toán hình học tổng hợp rất hay, kết hợp giữa quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, tính chất đường phân giác và tam giác bằng nhau.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bạn:

a. So sánh các góc của tam giác ABC
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Theo đề bài ta có độ dài các cạnh:

$BC = 8$ cm
$AC = 6$ cm
$AB = 4$ cm
Sắp xếp thứ tự các cạnh: $BC > AC > AB$ ($8 > 6 > 4$).

Cạnh $BC$ đối diện với $\widehat{A}$
Cạnh $AC$ đối diện với $\widehat{B}$
Cạnh $AB$ đối diện với $\widehat{C}$
Kết luận: $\widehat{A} > \widehat{B} > \widehat{C}$.

b. Chứng minh $DA = DE$
Xét hai tam giác vuông $\triangle ABD$ (vuông tại $A$ do giả thiết ngầm định hoặc cần xét tính chất phân giác) và $\triangle EBD$ (vuông tại $E$):

Cạnh huyền $BD$ chung.
$\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (Vì $BD$ là tia phân giác của góc $B$).
$\Rightarrow \triangle ABD = \triangle EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Kết luận: $DA = DE$ (hai cạnh tương ứng).

c. Chứng minh $\triangle ADF = \triangle EDC$ và $DF > DE$
1. Chứng minh $\triangle ADF = \triangle EDC$:

Xét hai tam giác vuông $\triangle ADF$ (vuông tại $A$) và $\triangle EDC$ (vuông tại $E$):

$DA = DE$ (chứng minh ở câu b).
$\widehat{ADF} = \widehat{EDC}$ (hai góc đối đỉnh).
$\Rightarrow \triangle ADF = \triangle EDC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

2. Chứng minh $DF > DE$:

Trong tam giác vuông $\triangle ADF$ (vuông tại $A$):

$DF$ là cạnh huyền.
$DA$ là cạnh góc vuông.

Trong một tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất $\Rightarrow DF > DA$.
Mà theo câu b ta có $DA = DE$.

Kết luận: $DF > DE$ (đpcm).

Mẹo nhỏ cho bạn: Ở câu c, khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, hãy luôn chú ý đến các yếu tố đã chứng minh được ở câu trước (như $DA = DE$) để tiết kiệm thời gian nhé.

Bạn có muốn mình hướng dẫn cách chứng minh thêm rằng $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE$ không?