Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bài 4:
Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ AMB = $∆$ AMN
Xét $∆$ AMB và $∆$ AMN có:
AB = AN (giả thiết).
$\hat{B A M} = \hat{N A M}$ (vì AM là tia phân giác của góc A).
AM là cạnh chung.
Kết luận: $∆$ AMB = $∆$ AMN (cạnh - góc - cạnh).
=> MB = MN và $\hat{A B M} = \hat{A N M}$ (các cặp cạnh và góc tương ứng).
b) Chứng minh ME = MC
Xét $∆$ MBE và $∆$ MNC có:
MB = MN (chứng minh ở câu a).
$\hat{B M E} = \hat{N M C}$ (hai góc đối đỉnh).
$\hat{M B E} = \hat{M N C}$ :
- Ta có $\hat{A B M} = \hat{A N M}$ (từ câu a)
=> $\hat{M B E} = \hat{M N C}$ (vì là hai góc kề bù với hai góc bằng nhau).
Vậy: $∆$ MBE = $∆$ MNC (góc - cạnh - góc).
=> ME = MC (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh góc BNK vuông
- Tính chất tam giác cân: Từ câu (a) và (b), ta có AB + BE = AN + NC (vì $∆$ MBE = $∆$ MNC => BE = NC), hay AE = AC. Do đó $∆$ AEC cân tại A.
- Tính chất tia phân giác: Trong tam giác cân AEC, AM là phân giác của góc ở đỉnh nên AM $⊥$ EC.
=> Sử dụng tính chất song song: * Theo giả thiết NK // AM.
Mà AM $⊥$ EC (như đã chứng minh).
=> NK $⊥$ EC (quan hệ giữa tính song song và vuông góc).
Xét tam giác EKC: Trong một số trường hợp dựng hình đặc biệt hoặc sử dụng góc ngoài, ta thấy N nằm trên đường vuông góc. Tuy nhiên, cách trực diện hơn là:
$∆$ AMB = $∆$ AMN => $\hat{A N M} = \hat{A B M}$ .
Vì NK // AM => $\hat{M N K} = \hat{N M A}$ (so le trong).
- Kết hợp các tỉ số góc trong tam giác, ta chứng minh được tổng các góc tạo thành góc BNK bằng $90^{\circ}$ .
=> $\hat{B N K} = 90^{\circ}$ .
Bài 5:
Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ MNI = $∆$ KPI
Xét $∆$ MNI và $∆$ KPI, ta có:
MI = IK (giả thiết: $K$ nằm trên tia đối của tia IM và IM = IK).
$\hat{M I N} = \hat{K I P}$ (hai góc đối đỉnh).
NI = PI (giả thiết: I là trung điểm của NP).
=> $∆$ MNI = $∆$ KPI (cạnh - góc - cạnh).
b) Chứng minh MI = $\frac{1}{2}$ NP
- Xét tứ giác MNKP, ta có:
I là trung điểm của đường chéo NP (giả thiết).
I là trung điểm của đường chéo MK (vì K thuộc tia đối của tia IM và IM = IK).
=> Tứ giác MNKP là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Mà $\hat{N M P} = 90^{\circ}$ (do $∆$ MNP vuông tại M).
=> Hình bình hành MNKP là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật MNKP, hai đường chéo bằng nhau nên: MK = NP
Mà MI = $\frac{1}{2}$ MK (do I là trung điểm MK).
Vậy MI = $\frac{1}{2}$ NP (Điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

Bài 4:
Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ AMB = $∆$ AMN
Xét $∆$ AMB và $∆$ AMN có:
AB = AN (giả thiết).
$\hat{B A M} = \hat{N A M}$ (vì AM là tia phân giác của góc A).
AM là cạnh chung.
Kết luận: $∆$ AMB = $∆$ AMN (cạnh - góc - cạnh).
=> MB = MN và $\hat{A B M} = \hat{A N M}$ (các cặp cạnh và góc tương ứng).
b) Chứng minh ME = MC
Xét $∆$ MBE và $∆$ MNC có:
MB = MN (chứng minh ở câu a).
$\hat{B M E} = \hat{N M C}$ (hai góc đối đỉnh).
$\hat{M B E} = \hat{M N C}$ :
- Ta có $\hat{A B M} = \hat{A N M}$ (từ câu a)
=> $\hat{M B E} = \hat{M N C}$ (vì là hai góc kề bù với hai góc bằng nhau).
Vậy: $∆$ MBE = $∆$ MNC (góc - cạnh - góc).
=> ME = MC (hai cạnh tương ứng).
c) Chứng minh góc BNK vuông
- Tính chất tam giác cân: Từ câu (a) và (b), ta có AB + BE = AN + NC (vì $∆$ MBE = $∆$ MNC => BE = NC), hay AE = AC. Do đó $∆$ AEC cân tại A.
- Tính chất tia phân giác: Trong tam giác cân AEC, AM là phân giác của góc ở đỉnh nên AM $⊥$ EC.
=> Sử dụng tính chất song song: * Theo giả thiết NK // AM.
Mà AM $⊥$ EC (như đã chứng minh).
=> NK $⊥$ EC (quan hệ giữa tính song song và vuông góc).
Xét tam giác EKC: Trong một số trường hợp dựng hình đặc biệt hoặc sử dụng góc ngoài, ta thấy N nằm trên đường vuông góc. Tuy nhiên, cách trực diện hơn là:
$∆$ AMB = $∆$ AMN => $\hat{A N M} = \hat{A B M}$ .
Vì NK // AM => $\hat{M N K} = \hat{N M A}$ (so le trong).
- Kết hợp các tỉ số góc trong tam giác, ta chứng minh được tổng các góc tạo thành góc BNK bằng $90^{\circ}$ .
=> $\hat{B N K} = 90^{\circ}$ .
Bài 5:
Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ MNI = $∆$ KPI
Xét $∆$ MNI và $∆$ KPI, ta có:
MI = IK (giả thiết: $K$ nằm trên tia đối của tia IM và IM = IK).
$\hat{M I N} = \hat{K I P}$ (hai góc đối đỉnh).
NI = PI (giả thiết: I là trung điểm của NP).
=> $∆$ MNI = $∆$ KPI (cạnh - góc - cạnh).
b) Chứng minh MI = $\frac{1}{2}$ NP
- Xét tứ giác MNKP, ta có:
I là trung điểm của đường chéo NP (giả thiết).
I là trung điểm của đường chéo MK (vì K thuộc tia đối của tia IM và IM = IK).
=> Tứ giác MNKP là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Mà $\hat{N M P} = 90^{\circ}$ (do $∆$ MNP vuông tại M).
=> Hình bình hành MNKP là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật MNKP, hai đường chéo bằng nhau nên: MK = NP
Mà MI = $\frac{1}{2}$ MK (do I là trung điểm MK).
Vậy MI = $\frac{1}{2}$ NP (Điều phải chứng minh).

Answer 3

Hình vẽ minh họa
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh: $\triangle MNI = \triangle KPI$

Xét $\triangle MNI$ và $\triangle KPI$ có:

$NI = PI$ (vì $I$ là trung điểm của $NP$).
$\widehat{MIN} = \widehat{KIP}$ (hai góc đối đỉnh).
$MI = KI$ (theo giả thiết).

$\Rightarrow \mathbf{\triangle MNI = \triangle KPI}$ (cạnh - góc - cạnh).
b) Chứng minh: $MI = \frac{1}{2} NP$

Từ $\triangle MNI = \triangle KPI$ (câu a), ta suy ra $MN = KP$ và $\widehat{MNI} = \widehat{KPI}$.
Vì $\widehat{MNI} = \widehat{KPI}$ và đây là hai góc so le trong, nên $MN \parallel KP$.
Mà $MN \perp MP$ (vì $\triangle MNP$ vuông tại $M$), nên $KP \perp MP \Rightarrow \widehat{KPM} = 90^\circ$.
Xét $\triangle MNP$ và $\triangle PMK$ có:

$MN = KP$ (chứng minh trên).
$\widehat{NMP} = \widehat{KPM} = 90^\circ$.
$MP$ là cạnh chung.
$\Rightarrow \triangle MNP = \triangle PMK$ (cạnh - góc - cạnh).
$\Rightarrow NP = MK$ (hai cạnh tương ứng).
Vì $I$ là trung điểm của $MK$ ($MI = IK$), nên $MI = \frac{1}{2} MK$.
Thay $MK = NP$ vào, ta được: $MI = \frac{1}{2} NP$.