A) Chứng minh tam giác FEA và tam giác FBA bằng nhau: 
Xét tam giác vuông △FDEtriangle cap F cap D cap E
△𝐹𝐷𝐸
vuông tại E (giả thiết) và có FA là phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠𝐸𝐹𝐷
(giả thiết).
Xét △FEAtriangle cap F cap E cap A
△𝐹𝐸𝐴
và △FBAtriangle cap F cap B cap A
△𝐹𝐵𝐴
: ∠EFA=∠BFAangle cap E cap F cap A equals angle cap B cap F cap A
∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐵𝐹𝐴
(vì FA là phân giác góc F)
Cạnh FA chung.
△FDEtriangle cap F cap D cap E
△𝐹𝐷𝐸
vuông tại E, nên ∠FEA=90∘angle cap F cap E cap A equals 90 raised to the composed with power
∠𝐹𝐸𝐴=90∘
.
Cạnh FE = FB (giả thiết).
Do đó, △FEA=△FBAtriangle cap F cap E cap A equals triangle cap F cap B cap A
△𝐹𝐸𝐴=△𝐹𝐵𝐴
(cạnh huyền - cạnh góc vuông). 

B) Chứng minh K là trung điểm của BE: 
Từ △FEA=△FBAtriangle cap F cap E cap A equals triangle cap F cap B cap A
△𝐹𝐸𝐴=△𝐹𝐵𝐴
(chứng minh trên), ta suy ra EA=BAcap E cap A equals cap B cap A
𝐸𝐴=𝐵𝐴
và ∠FAE=∠FABangle cap F cap A cap E equals angle cap F cap A cap B
∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐹𝐴𝐵
.
Xét △FBEtriangle cap F cap B cap E
△𝐹𝐵𝐸
:FE = FB (giả thiết).
Vậy △FBEtriangle cap F cap B cap E
△𝐹𝐵𝐸
là tam giác cân tại F.
FA là tia phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠𝐸𝐹𝐷
, đồng thời cũng là đường phân giác của ∠EFBangle cap E cap F cap B
∠𝐸𝐹𝐵
(vì A thuộc cạnh ED).
Trong tam giác cân △FBEtriangle cap F cap B cap E
△𝐹𝐵𝐸
, đường phân giác FA cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến của cạnh BE.
Do đó, FA cắt BE tại trung điểm của BE, tức là K là trung điểm của BE. 

C) Chứng minh C, A, B thẳng hàng: 
Xét △FDEtriangle cap F cap D cap E
△𝐹𝐷𝐸
vuông tại E, có FAcap F cap A
𝐹𝐴
là phân giác góc F.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△𝐶𝐹𝐸
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△𝐷𝐹𝐸
(hoặc △BDEtriangle cap B cap D cap E
△𝐵𝐷𝐸
):Ta có CE=DBcap C cap E equals cap D cap B
𝐶𝐸=𝐷𝐵
(giả thiết).
Ta có FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
𝐹𝐸=𝐹𝐵
(giả thiết).
∠CEF=180∘−∠DEFangle cap C cap E cap F equals 180 raised to the composed with power minus angle cap D cap E cap F
∠𝐶𝐸𝐹=180∘−∠𝐷𝐸𝐹
(kề bù).
∠DFEangle cap D cap F cap E
∠𝐷𝐹𝐸
(chung).
∠FEB=∠EFBangle cap F cap E cap B equals angle cap E cap F cap B
∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐸𝐹𝐵
.

Để chứng minh C, A, B thẳng hàng, ta cần chứng minh FA là đường trung trực của BC hoặc chứng minh một tính chất khác.
Xét △EBCtriangle cap E cap B cap C
△𝐸𝐵𝐶
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△𝐷𝐵𝐶
.
Ta chứng minh △FBCtriangle cap F cap B cap C
△𝐹𝐵𝐶
cân tại F.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△𝐸𝐹𝐶
và △BFCtriangle cap B cap F cap C
△𝐵𝐹𝐶
: FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
𝐹𝐸=𝐹𝐵
(giả thiết)
∠CFE=∠BFEangle cap C cap F cap E equals angle cap B cap F cap E
∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐸

FCcap F cap C
𝐹𝐶
chung.
△EFC=△BFCtriangle cap E cap F cap C equals triangle cap B cap F cap C
△𝐸𝐹𝐶=△𝐵𝐹𝐶
(c.g.c) => EC=BCcap E cap C equals cap B cap C
𝐸𝐶=𝐵𝐶
. (Điều này không đúng, EC=DBcap E cap C equals cap D cap B
𝐸𝐶=𝐷𝐵
và FB=FEcap F cap B equals cap F cap E
𝐹𝐵=𝐹𝐸
).

Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△𝐶𝐹𝐸
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△𝐷𝐹𝐸

Xét △BCEtriangle cap B cap C cap E
△𝐵𝐶𝐸
và △BDEtriangle cap B cap D cap E
△𝐵𝐷𝐸
.
Quan sát: △FBEtriangle cap F cap B cap E
△𝐹𝐵𝐸
cân tại F, FA là đường phân giác cũng là đường cao.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△𝐸𝐹𝐶
(vuông tại E, nếu C nằm trên tia đối EF) và △BDFtriangle cap B cap D cap F
△𝐵𝐷𝐹

Xét △FCEtriangle cap F cap C cap E
△𝐹𝐶𝐸
(vuông tại E) và △FBDtriangle cap F cap B cap D
△𝐹𝐵𝐷
(vuông tại D - không đúng).
Ta có FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
𝐹𝐸=𝐹𝐵
(1) và CE=DBcap C cap E equals cap D cap B
𝐶𝐸=𝐷𝐵
(2).
Xét △FCEtriangle cap F cap C cap E
△𝐹𝐶𝐸
và △FBDtriangle cap F cap B cap D
△𝐹𝐵𝐷
- không bằng nhau.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△𝐶𝐹𝐸
và △BFEtriangle cap B cap F cap E
△𝐵𝐹𝐸
- không bằng nhau.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△𝐶𝐹𝐸
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△𝐷𝐹𝐸
.
Sử dụng tính chất đường phân giác: FA là đường phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠𝐸𝐹𝐷
.
Xét △CEBtriangle cap C cap E cap B
△𝐶𝐸𝐵
.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△𝐸𝐹𝐶
(vuông tại E) và △DFBtriangle cap D cap F cap B
△𝐷𝐹𝐵
(vuông tại D - không đúng).
**Nhận xét: Cần chứng minh FA là đường phân giác của ∠CFEangle cap C cap F cap E
∠𝐶𝐹𝐸