Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ FEA = $∆$ FBA
Xét $∆$ FEA và $∆$ FBA, ta có:
FE = FB (theo giả thiết).
$\hat{E F A}$ = $\hat{B F A}$ (vì FA là tia phân giác của góc $\hat{E F D}$ ).
FA là cạnh chung.
=> $∆$ FEA = $∆$ FBA (c.g.c).
b) Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BE
Vì: $∆$ FEA = $∆$ FBA ở câu a, => AE = AB (hai cạnh tương ứng).
- Xét $∆$ FEK và $∆$ FBK, ta có:
FE = FB (giả thiết).
$\hat{E F K} = \hat{B F K}$ (FK là tia phân giác).
FK là cạnh chung.
=> $∆$ FEK = $∆$ FBK (c.g.c).
=> KE = KB (hai cạnh tương ứng).
Mà K nằm trên đoạn thẳng BE, do đó K là trung điểm của BE (đpcm).
(Cách khác: Vì FE = FB và AE = AB, => FA là đường trung trực của đoạn thẳng BE. Do đó FA cắt BE tại trung điểm K.)
c) Chứng minh ba điểm C, A, B thẳng hàng
- Từ $∆$ FEA = $∆$ FBA, ta có $\hat{F E A} = \hat{F B A} = 90 °$ (hai góc tương ứng, mà $\hat{F E A}$ = 90 $°$ do tam giác EFD vuông tại E).
=> AB $⊥$ FD.
- Xét hai tam giác vuông $∆$ CEA và $∆$ DBA, ta có:
$\hat{C E A} = \hat{D B A} = 90 °$ (vì AB $⊥$ FD và AE $⊥$ FC).
CE = DB (giả thiết).
AE = AB (chứng minh ở câu b).
=> $∆$ CEA = $∆$ DBA (hai cạnh góc vuông).
=> $\hat{E A C} = \hat{B A D}$ (hai góc tương ứng).
- Ta có điểm E, A, D thẳng hàng, nên $\hat{E A B} + \hat{B A D} = 180 °$ .
- Thay $\hat{B A D} = \hat{E A C}$ vào, ta được: $\hat{E A B} + \hat{E A C} = 180 ° .$
=> $\hat{C A B}$ = 180 $°$ .
Vậy ba điểm C, A, B thẳng hàng (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ FEA = $∆$ FBA
Xét $∆$ FEA và $∆$ FBA, ta có:
FE = FB (theo giả thiết).
$\hat{E F A}$ = $\hat{B F A}$ (vì FA là tia phân giác của góc $\hat{E F D}$ ).
FA là cạnh chung.
=> $∆$ FEA = $∆$ FBA (c.g.c).
b) Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng BE
Vì: $∆$ FEA = $∆$ FBA ở câu a, => AE = AB (hai cạnh tương ứng).
- Xét $∆$ FEK và $∆$ FBK, ta có:
FE = FB (giả thiết).
$\hat{E F K} = \hat{B F K}$ (FK là tia phân giác).
FK là cạnh chung.
=> $∆$ FEK = $∆$ FBK (c.g.c).
=> KE = KB (hai cạnh tương ứng).
Mà K nằm trên đoạn thẳng BE, do đó K là trung điểm của BE (đpcm).
(Cách khác: Vì FE = FB và AE = AB, => FA là đường trung trực của đoạn thẳng BE. Do đó FA cắt BE tại trung điểm K.)
c) Chứng minh ba điểm C, A, B thẳng hàng
- Từ $∆$ FEA = $∆$ FBA, ta có $\hat{F E A} = \hat{F B A} = 90 °$ (hai góc tương ứng, mà $\hat{F E A}$ = 90 $°$ do tam giác EFD vuông tại E).
=> AB $⊥$ FD.
- Xét hai tam giác vuông $∆$ CEA và $∆$ DBA, ta có:
$\hat{C E A} = \hat{D B A} = 90 °$ (vì AB $⊥$ FD và AE $⊥$ FC).
CE = DB (giả thiết).
AE = AB (chứng minh ở câu b).
=> $∆$ CEA = $∆$ DBA (hai cạnh góc vuông).
=> $\hat{E A C} = \hat{B A D}$ (hai góc tương ứng).
- Ta có điểm E, A, D thẳng hàng, nên $\hat{E A B} + \hat{B A D} = 180 °$ .
- Thay $\hat{B A D} = \hat{E A C}$ vào, ta được: $\hat{E A B} + \hat{E A C} = 180 ° .$
=> $\hat{C A B}$ = 180 $°$ .
Vậy ba điểm C, A, B thẳng hàng (đpcm).

Answer 3

A) Chứng minh tam giác FEA và tam giác FBA bằng nhau:
Xét tam giác vuông △FDEtriangle cap F cap D cap E
△???
vuông tại E (giả thiết) và có FA là phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠???
(giả thiết).
Xét △FEAtriangle cap F cap E cap A
△???
và △FBAtriangle cap F cap B cap A
△???
: ∠EFA=∠BFAangle cap E cap F cap A equals angle cap B cap F cap A
∠???=∠???
(vì FA là phân giác góc F)
Cạnh FA chung.
△FDEtriangle cap F cap D cap E
△???
vuông tại E, nên ∠FEA=90∘angle cap F cap E cap A equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Cạnh FE = FB (giả thiết).
Do đó, △FEA=△FBAtriangle cap F cap E cap A equals triangle cap F cap B cap A
△???=△???
(cạnh huyền - cạnh góc vuông).

B) Chứng minh K là trung điểm của BE:
Từ △FEA=△FBAtriangle cap F cap E cap A equals triangle cap F cap B cap A
△???=△???
(chứng minh trên), ta suy ra EA=BAcap E cap A equals cap B cap A
??=??
và ∠FAE=∠FABangle cap F cap A cap E equals angle cap F cap A cap B
∠???=∠???
.
Xét △FBEtriangle cap F cap B cap E
△???
:FE = FB (giả thiết).
Vậy △FBEtriangle cap F cap B cap E
△???
là tam giác cân tại F.
FA là tia phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠???
, đồng thời cũng là đường phân giác của ∠EFBangle cap E cap F cap B
∠???
(vì A thuộc cạnh ED).
Trong tam giác cân △FBEtriangle cap F cap B cap E
△???
, đường phân giác FA cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến của cạnh BE.
Do đó, FA cắt BE tại trung điểm của BE, tức là K là trung điểm của BE.

C) Chứng minh C, A, B thẳng hàng:
Xét △FDEtriangle cap F cap D cap E
△???
vuông tại E, có FAcap F cap A
??
là phân giác góc F.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△???
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△???
(hoặc △BDEtriangle cap B cap D cap E
△???
):Ta có CE=DBcap C cap E equals cap D cap B
??=??
(giả thiết).
Ta có FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
??=??
(giả thiết).
∠CEF=180∘−∠DEFangle cap C cap E cap F equals 180 raised to the composed with power minus angle cap D cap E cap F
∠???=180∘−∠???
(kề bù).
∠DFEangle cap D cap F cap E
∠???
(chung).
∠FEB=∠EFBangle cap F cap E cap B equals angle cap E cap F cap B
∠???=∠???
.

Để chứng minh C, A, B thẳng hàng, ta cần chứng minh FA là đường trung trực của BC hoặc chứng minh một tính chất khác.
Xét △EBCtriangle cap E cap B cap C
△???
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△???
.
Ta chứng minh △FBCtriangle cap F cap B cap C
△???
cân tại F.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△???
và △BFCtriangle cap B cap F cap C
△???
: FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
??=??
(giả thiết)
∠CFE=∠BFEangle cap C cap F cap E equals angle cap B cap F cap E
∠???=∠???

FCcap F cap C
??
chung.
△EFC=△BFCtriangle cap E cap F cap C equals triangle cap B cap F cap C
△???=△???
(c.g.c) => EC=BCcap E cap C equals cap B cap C
??=??
. (Điều này không đúng, EC=DBcap E cap C equals cap D cap B
??=??
và FB=FEcap F cap B equals cap F cap E
??=??
).

Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△???
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△???

Xét △BCEtriangle cap B cap C cap E
△???
và △BDEtriangle cap B cap D cap E
△???
.
Quan sát: △FBEtriangle cap F cap B cap E
△???
cân tại F, FA là đường phân giác cũng là đường cao.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△???
(vuông tại E, nếu C nằm trên tia đối EF) và △BDFtriangle cap B cap D cap F
△???

Xét △FCEtriangle cap F cap C cap E
△???
(vuông tại E) và △FBDtriangle cap F cap B cap D
△???
(vuông tại D - không đúng).
Ta có FE=FBcap F cap E equals cap F cap B
??=??
(1) và CE=DBcap C cap E equals cap D cap B
??=??
(2).
Xét △FCEtriangle cap F cap C cap E
△???
và △FBDtriangle cap F cap B cap D
△???
- không bằng nhau.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△???
và △BFEtriangle cap B cap F cap E
△???
- không bằng nhau.
Xét △CFEtriangle cap C cap F cap E
△???
và △DFEtriangle cap D cap F cap E
△???
.
Sử dụng tính chất đường phân giác: FA là đường phân giác của ∠EFDangle cap E cap F cap D
∠???
.
Xét △CEBtriangle cap C cap E cap B
△???
.
Xét △EFCtriangle cap E cap F cap C
△???
(vuông tại E) và △DFBtriangle cap D cap F cap B
△???
(vuông tại D - không đúng).
**Nhận xét: Cần chứng minh FA là đường phân giác của ∠CFEangle cap C cap F cap E
∠???

...Xem thêm

Answer 4