a) Các tứ giác AEMF, AMBH, AMCK là hình gì? Tại sao?
- Tứ giác AEMF là hình chữ nhật:
+ Vì H đối xứng với M qua AB nên MH $\perp$ AB tại E => $\widehat{AEM}$ = 90$°$.
+ Vì K đối xứng với M qua AC nên MK $\perp$ AC tại F => $\widehat{AFM}$ = 90$°$.
+ Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{EAF}$ = 90$°$.
=>  Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy AEMF là hình chữ nhật.
- Tứ giác AMBH là hình thoi:
+ H đối xứng với M qua AB nên AB là đường trung trực của HM 
=> E là trung điểm HM và AB $\perp$ HM.
+ Trong $∆$ABC vuông tại A, M là trung điểm BC nên AM = MB = MC =$\frac{1}{2}$BC (tính chất đường trung tuyến).
+ Vì M là trung điểm BC và ME // AC (cùng $\perp$AB), nên E là trung điểm của AB.
+ Tứ giác AMBH có hai đường chéo AB và MH cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có AB $\perp$ MH.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. Vậy AMBH là hình thoi.
- Tứ giác AMCK là hình thoi:
+ Chứng minh tương tự AMBH, ta có F là trung điểm của MK và AC.
+ Tứ giác AMCK có hai đường chéo AC và MK vuông góc tại trung điểm F mỗi đường.
Vậy AMCK là hình thoi.

b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A
+ Vì AMBH là hình thoi nên AH // BM và AH = BM.
+ Vì AMCK là hình thoi nên AK // MC và AK = MC.
+ Mà B, M, C thẳng hàng và BM = MC nên: AH // BC và AK // BC => H, A, K thẳng hàng (theo tiên đề Euclid).
+ AH = AK (cùng bằng BM = MC).
+ Điểm A nằm giữa H, K và AH = AK nên H đối xứng với K qua A.
c) Điều kiện để tứ giác AEMF là hình vuông
- Hình chữ nhật AEMF là hình vuông khi AE = AF.
Mà AE = $\frac{1}{2}$AB và AF = $\frac{1}{2}$AC.
AE = AF $\iff$ $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$AC $\iff$AB = AC.
=> Vậy để AEMF là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.