Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này:

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? 
Xét tứ giác ADME có: 
DAÊ=90∘modified cap D cap A cap E with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐴𝐸=90∘
(do tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
).
ADM̂=90∘modified cap A cap D cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐷𝑀=90∘
(do MD⟂ABcap M cap D ⟂ cap A cap B
𝑀𝐷⟂𝐴𝐵
tại Dcap D
𝐷
).
AEM̂=90∘modified cap A cap E cap M with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐸𝑀=90∘
(do ME⟂ACcap M cap E ⟂ cap A cap C
𝑀𝐸⟂𝐴𝐶
tại Ecap E
𝐸
). 

Kết luận: Tứ giác ADMEcap A cap D cap M cap E
𝐴𝐷𝑀𝐸
là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông. 

b) Tính độ dài cạnh AC khi biết MD = 9,5 cm 
Xét tam giác ABC: Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
(giả thiết).
MD⟂ABcap M cap D ⟂ cap A cap B
𝑀𝐷⟂𝐴𝐵
và AC⟂AB⇒MD//ACcap A cap C ⟂ cap A cap B implies cap M cap D / / cap A cap C
𝐴𝐶⟂𝐴𝐵⇒𝑀𝐷//𝐴𝐶
.

Đường trung bình:
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, đường thẳng đi qua trung điểm Mcap M
𝑀
của cạnh BCcap B cap C
𝐵𝐶
và song song với cạnh ACcap A cap C
𝐴𝐶
thì phải đi qua trung điểm của cạnh ABcap A cap B
𝐴𝐵
. Vậy Dcap D
𝐷
là trung điểm của ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
⇒MDimplies cap M cap D
⇒𝑀𝐷
là đường trung bình của tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
ứng với cạnh ACcap A cap C
𝐴𝐶
.
Tính toán:
Theo tính chất đường trung bình: MD=12ACcap M cap D equals one-half cap A cap C
𝑀𝐷=12𝐴𝐶
.
⇒AC=2×MD=2×9,5=19 (cm)implies cap A cap C equals 2 cross cap M cap D equals 2 cross 9 comma 5 equals 19 (cm)
⇒𝐴𝐶=2×𝑀𝐷=2×9,5=19 (cm)
. 

Đáp số: AC=19 cmcap A cap C equals 19 cm
𝐴𝐶=19 cm
. 

c) Chứng minh HK // AC 
(Lưu ý: Có lẽ đề bài ghi nhầm "AEB", đúng phải là tia phân giác của góc MEB̂modified cap M cap E cap B with hat above
𝑀𝐸𝐵

và MEĈmodified cap M cap E cap C with 𝑀𝐸𝐶
để phù hợp với các điểm H,Kcap H comma cap K
𝐻,𝐾
trên cạnh AB,BCcap A cap B comma cap B cap C
𝐴𝐵,𝐵𝐶
). 
Dựa trên tính chất tia phân giác trong tam giác: 
Xét tam giác MEB:
Có EHcap E cap H
𝐸𝐻
là tia phân giác của góc MEB̂modified cap M cap E cap B with hat above
𝑀𝐸𝐵
( H∈MBcap H is an element of cap M cap B
𝐻∈𝑀𝐵
, hoặc H∈ABcap H is an element of cap A cap B
𝐻∈𝐴𝐵
tùy hình vẽ cụ thể). Theo tính chất đường phân giác:
HBHM=EBEMthe fraction with numerator cap H cap B and denominator cap H cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap B and denominator cap E cap M end-fraction
𝐻𝐵𝐻𝑀=𝐸𝐵𝐸𝑀

Xét tam giác MEC:
Có EKcap E cap K
𝐸𝐾
là tia phân giác của góc MEĈmodified cap M cap E cap C with hat above
𝑀𝐸𝐶
( K∈MCcap K is an element of cap M cap C
𝐾∈𝑀𝐶
). Theo tính chất đường phân giác:
KCKM=ECEMthe fraction with numerator cap K cap C and denominator cap K cap M end-fraction equals the fraction with numerator cap E cap C and denominator cap E cap M end-fraction
𝐾𝐶𝐾𝑀=𝐸𝐶𝐸𝑀

Nhận xét:
Vì MEcap M cap E
𝑀𝐸
là đường trung trực của ACcap A cap C
𝐴𝐶
(hoặc xét tính chất đối xứng qua trung điểm), ta có EB=ECcap E cap B equals cap E cap C
𝐸𝐵=𝐸𝐶
và MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
. Đồng thời Mcap M
𝑀
là trung điểm nên HM=KMcap H cap M equals cap K cap M
𝐻𝑀=𝐾𝑀
(trong trường hợp đối xứng).
Tuy nhiên, cách phổ biến nhất là sử dụng Định lý Ta-lét đảo:
Nếu các tia phân giác tạo ra các tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng bằng nhau trên hai cạnh BAcap B cap A
𝐵𝐴
và BCcap B cap C
𝐵𝐶
:
BHHA=BKKCthe fraction with numerator cap B cap H and denominator cap H cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap B cap K and denominator cap K cap C end-fraction
𝐵𝐻𝐻𝐴=𝐵𝐾𝐾𝐶

Thì theo định lý Ta-lét đảo, ta suy ra HK//ACcap H cap K / / cap A cap C
𝐻𝐾//𝐴𝐶
. 

(Lưu ý: Để chứng minh chính xác câu c, bạn cần kiểm tra lại tên các góc trong đề bài, vì thông thường Ecap E
𝐸
nằm trên ACcap A cap C
𝐴𝐶
nên các góc AEB̂modified cap A cap E cap B with hat above
𝐴𝐸𝐵
hay BEĈmodified cap B cap E cap C with hat above
𝐵𝐸𝐶
sẽ liên quan đến các tam giác tạo bởi đường cao hoặc đường trung tuyến).