a) Chứng minh $∆$ABM = $∆$DCM
Xét $∆$ABM và $∆$DCM có:
AM = DM (theo giả thiết).
$\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).
BM = CM (vì M là trung điểm của BC).
=> $∆$ABM = $∆$DCM (cạnh - góc - cạnh).
b) Chứng minh AB // CD
- Từ kết quả câu a, ta có $∆$ABM = $∆$DCM, suy ra:
$\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng).
- Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
=> AB // CD (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
c) Chứng minh AM $\perp$ BC
Xét $∆$ABM và $∆$ACM, ta có:
AB = AC (vì $∆$ABC cân tại A).
AM là cạnh chung.
BM = CM (vì M là trung điểm của BC).
=> $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh - cạnh - cạnh).
Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$(hai góc tương ứng).
- Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù).
=>$\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$.
Vậy AM $\perp$ BC tại M. (đpcm)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu dựa trên các tính chất của tam giác cân và các trường hợp bằng nhau của tam giác.
 

Giả thiết: 
ΔABCcap delta cap A cap B cap C
Δ𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
( AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
).
Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
( MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
).
Dcap D
𝐷
thuộc tia đối của tia MAcap M cap A
𝑀𝐴
sao cho MD=MAcap M cap D equals cap M cap A
𝑀𝐷=𝑀𝐴
. 

a) Chứng minh ΔABM=ΔDCMcap delta cap A cap B cap M equals cap delta cap D cap C cap M
Δ𝐴𝐵𝑀=Δ𝐷𝐶𝑀
 
Xét ΔABMcap delta cap A cap B cap M
Δ𝐴𝐵𝑀
và ΔDCMcap delta cap D cap C cap M
Δ𝐷𝐶𝑀
có: 
AM=DMcap A cap M equals cap D cap M
𝐴𝑀=𝐷𝑀
(theo giả thiết).
AMB̂=DMĈmodified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap D cap M cap C with hat above
𝐴𝑀𝐵=𝐷𝑀𝐶
(hai góc đối đỉnh).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(vì Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
). 

⇒ΔABM=ΔDCMimplies cap delta cap A cap B cap M equals cap delta cap D cap C cap M
⇒Δ𝐴𝐵𝑀=Δ𝐷𝐶𝑀
(cạnh - góc - cạnh). (đpcm) 

b) Chứng minh AB∥CDcap A cap B is parallel to cap C cap D
𝐴𝐵∥𝐶𝐷
 
Từ kết quả ΔABM=ΔDCMcap delta cap A cap B cap M equals cap delta cap D cap C cap M
Δ𝐴𝐵𝑀=Δ𝐷𝐶𝑀
ở câu a, ta suy ra: 
BAM̂=CDM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap D cap M with hat above
𝐵𝐴𝑀=𝐶𝐷𝑀
(hai góc tương ứng). 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
⇒AB∥CDimplies cap A cap B is parallel to cap C cap D
⇒𝐴𝐵∥𝐶𝐷
(đpcm). 

c) Chứng minh AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
 
Có hai cách để chứng minh điều này: 
Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác cân
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
, AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến (vì Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
). Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.
⇒AM⟂BCimplies cap A cap M ⟂ cap B cap C
⇒𝐴𝑀⟂𝐵𝐶

Cách 2: Chứng minh trực tiếp bằng tam giác bằng nhau
Xét ΔABMcap delta cap A cap B cap M
Δ𝐴𝐵𝑀
và ΔACMcap delta cap A cap C cap M
Δ𝐴𝐶𝑀
có: 
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
).
AMcap A cap M
𝐴𝑀
là cạnh chung.
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
( Mcap M
𝑀
là trung điểm BCcap B cap C
𝐵𝐶
). 

⇒ΔABM=ΔACMimplies cap delta cap A cap B cap M equals cap delta cap A cap C cap M
⇒Δ𝐴𝐵𝑀=Δ𝐴𝐶𝑀
(cạnh - cạnh - cạnh).
⇒AMB̂=AMĈimplies modified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap A cap M cap C with hat above
⇒𝐴𝑀𝐵=𝐴𝑀𝐶
(hai góc tương ứng). 
Mà AMB̂+AMĈ=180∘modified cap A cap M cap B with hat above plus modified cap A cap M cap C with hat above equals 180 raised to the composed with power
𝐴𝑀𝐵+𝐴𝑀𝐶=180∘
(hai góc kề bù).
⇒AMB̂=AMĈ=180∘2=90∘implies modified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap A cap M cap C with hat above equals the fraction with numerator 180 raised to the composed with power and denominator 2 end-fraction equals 90 raised to the composed with power
⇒𝐴𝑀𝐵=𝐴𝑀𝐶=180∘2=90∘
⇒AM⟂BCimplies cap A cap M ⟂ cap B cap C
⇒𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
(đpcm). 

Để chứng minh bài toán hình học này, bạn cần sửedụng các dấu hiệu nhận biết hai tam giác bằng nhau và tính chất tam giác cân, đường trung tuyến, góc đối đỉnh, góc so le trong. Cụ thể: a) Chứng minh
△ABM=△DCMtriangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
theo trường hợp c.g.c (cạnh-góc-cạnh) bằng cách xét MA=MDcap M cap A equals cap M cap D
𝑀𝐴=𝑀𝐷
(giả thiết), MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(M là trung điểm), và AMB̂=DMĈmodified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap D cap M cap C with hat above
𝐴𝑀𝐵=𝐷𝑀𝐶
(đối đỉnh); b) Từ △ABM=△DCMtriangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
, suy ra MAB̂=MDĈmodified cap M cap A cap B with hat above equals modified cap M cap D cap C with hat above
𝑀𝐴𝐵=𝑀𝐷𝐶
và AB//CDcap A cap B / / cap C cap D
𝐴𝐵//𝐶𝐷
(cặp góc so le trong); c) Vì △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại A, có AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, nên AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
. 

Giải chi tiết 
a) Chứng minh △ABM=△DCMtriangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
 
Xét △ABMtriangle cap A cap B cap M
△𝐴𝐵𝑀
và △DCMtriangle cap D cap C cap M
△𝐷𝐶𝑀
: MA=MDcap M cap A equals cap M cap D
𝑀𝐴=𝑀𝐷
(giả thiết: trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD = MA).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(vì M là trung điểm của BC).
AMB̂=DMĈmodified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap D cap M cap C with hat above
𝐴𝑀𝐵=𝐷𝑀𝐶
(hai góc đối đỉnh).

Vậy, △ABM=△DCMtriangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
(c.g.c). 

b) Chứng minh AB song song với CD 
Từ △ABM=△DCMtriangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
(chứng minh ở câu a), ta suy ra MAB̂=MDĈmodified cap M cap A cap B with hat above equals modified cap M cap D cap C with hat above
𝑀𝐴𝐵=𝑀𝐷𝐶
(hai góc tương ứng).
Hai góc MAB̂modified cap M cap A cap B with hat above
𝑀𝐴𝐵
và MDĈmodified cap M cap D cap C with hat above
𝑀𝐷𝐶
ở vị trí so le trong (cặp góc A và D của hai đường thẳng AB, CD với cát tuyến AD).
Do đó, AB//CDcap A cap B / / cap C cap D
𝐴𝐵//𝐶𝐷
(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). 

c) Chứng minh AM vuông góc với BC 
Tam giác ABC cân tại A (giả thiết).
M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy (BC) đồng thời là đường cao.
Vậy, AM⟂BCcap A cap M ⟂ cap B cap C
𝐴𝑀⟂𝐵𝐶
(AM vuông góc với BC).