Chào bạn, đây là một bài toán hình học không gian khá thú vị trong chương trình Toán lớp 11 (thường xuất hiện trong các đề ôn tập nâng cao lớp 7 hoặc hình học lớp 11). Mình sẽ hướng dẫn bạn giải từng bước một cách chi tiết nhé.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung hoặc một điểm chung và một phương song song.

Ta có: $S$ là điểm chung thứ nhất của $(SAB)$ và $(SCD)$.
Trong mặt đáy $ABCD$, ta có $AB \parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).
Mà $AB \subset (SAB)$ và $CD \subset (SCD)$.
Kết luận: Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ và $CD$.

b) Tính tỉ số $\frac{DN}{DB}$
Để tính tỉ số này, ta dựa vào tính chất trọng tâm trong tam giác $ABC$.

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Trong hình bình hành, $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Xét tam giác $ABC$: $BO$ là đường trung tuyến (vì $O$ là trung điểm $AC$).
$N$ là trọng tâm tam giác $ABC$, nên $N$ nằm trên trung tuyến $BO$ và thỏa mãn:

$BN = \frac{2}{3} BO$
Vì $BO = \frac{1}{2} BD$, ta thay vào:

$BN = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} BD \right) = \frac{1}{3} BD$
Từ đó, đoạn $DN$ sẽ bằng:

$DN = BD - BN = BD - \frac{1}{3} BD = \frac{2}{3} BD$
Kết quả: $\frac{DN}{DB} = \frac{2}{3}$.

c) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SCD)
Để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia.

Xét tỉ số trên cạnh $AD$: Theo đề bài $AD = 3AM$, suy ra $AM = \frac{1}{3} AD \implies MD = \frac{2}{3} AD$.

Vậy ta có tỉ số: $\frac{AM}{AD} = \frac{1}{3}$ và $\frac{DM}{DA} = \frac{2}{3}$.
Xét trong tam giác $ABD$:

Trên cạnh $AD$ có điểm $M$ sao cho $\frac{DM}{DA} = \frac{2}{3}$.
Trên cạnh $BD$ có điểm $N$ sao cho $\frac{DN}{DB} = \frac{2}{3}$ (đã chứng minh ở câu b).
Áp dụng định lý Ta-lét đảo trong tam giác $ABD$:

Vì $\frac{DM}{DA} = \frac{DN}{DB} = \frac{2}{3}$, nên $MN \parallel AB$.
Chứng minh song song với mặt phẳng:

Ta có $MN \parallel AB$.
Mà $AB \parallel CD$ (hình bình hành).
Suy ra $MN \parallel CD$.
Vì $CD \subset (SCD)$ và $MN$ không nằm trong $(SCD)$.
Kết luận: $MN \parallel (SCD)$.

Hy vọng lời giải này giúp bạn nắm vững kiến thức hơn. Bạn có muốn mình hướng dẫn thêm cách xác định vị trí của trọng tâm $G$ để giải các câu hỏi liên quan đến thiết diện không?