Câu 3
Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA (AB<AC)(AB < AC)(AB<AC).
III là trung điểm của BCBCBC.
Qua III kẻ:

IM⊥ABIM \perp ABIM⊥AB tại MMM
IN⊥ACIN \perp ACIN⊥AC tại NNN

a. Chứng minh tứ giác AMINAMINAMIN là hình chữ nhật
Vì AB⊥ACAB \perp ACAB⊥AC (tam giác vuông tại AAA)
IM⊥AB⇒IM∥ACIM \perp AB \Rightarrow IM \parallel ACIM⊥AB⇒IM∥AC
IN⊥AC⇒IN∥ABIN \perp AC \Rightarrow IN \parallel ABIN⊥AC⇒IN∥AB
Suy ra:

AM∥INAM \parallel INAM∥IN
AN∥IMAN \parallel IMAN∥IM
⇒ AMINAMINAMIN là hình bình hành.

Lại có:

AM⊥ANAM \perp ANAM⊥AN
⇒ Hình bình hành có một góc vuông
⇒ AMINAMINAMIN là hình chữ nhật ✅

b. Chứng minh tứ giác ADCIADCIADCI là hình thoi
DDD là điểm đối xứng của III qua NNN
⇒ NNN là trung điểm của IDIDID
Trong tam giác vuông ABCABCABC, III là trung điểm của BCBCBC
⇒ IA=IB=ICIA = IB = ICIA=IB=IC
Xét tứ giác ADCIADCIADCI:

AI=ICAI = ICAI=IC
IN=NDIN = NDIN=ND
Các cạnh bằng nhau
⇒ AD=DC=CI=IAAD = DC = CI = IAAD=DC=CI=IA

⇒ ADCIADCIADCI là hình thoi ✅

c. Cho MN=3,5MN = 3{,}5MN=3,5 cm. Tính độ dài BCBCBC
Từ câu a: AMINAMINAMIN là hình chữ nhật
⇒ Hai đường chéo bằng nhau:

MN=AIMN = AIMN=AITrong tam giác vuông ABCABCABC:

III là trung điểm của cạnh huyền BCBCBC
⇒

AI=BC2AI = \frac{BC}{2}AI=2BC​Mà:

MN=3,5⇒AI=3,5MN = 3{,}5 \Rightarrow AI = 3{,}5MN=3,5⇒AI=3,5Suy ra:

BC=2×3,5=7 cmBC = 2 \times 3{,}5 = 7\text{ cm}BC=2×3,5=7 cm👉 BC=7BC = 7BC=7 cm ✅

d. Cho AB=6AB = 6AB=6 cm, AC=10AC = 10AC=10 cm. Tính IN,IMIN, IMIN,IM
Trong tam giác vuông ABCABCABC:

III là trung điểm của BCBCBC
⇒ Khoảng cách từ III đến:

ACACAC bằng nửa cạnh ABABAB
ABABAB bằng nửa cạnh ACACAC
Do đó:

IN=AB2=62=3 cmIN = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}IN=2AB​=26​=3 cm IM=AC2=102=5 cmIM = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}IM=2AC​=210​=5 cm👉 IN=3IN = 3IN=3 cm, IM=5IM = 5IM=5 cm ✅