Chào bạn, mình sẽ giúp bạn vẽ hình và hướng dẫn giải bài toán hình học này nhé.

Lưu ý về đề bài: Có một chút nhầm lẫn ở phần đề bài bạn viết: "KH + KA". Theo dạng toán này, thông thường đề bài sẽ là lấy $H$ sao cho $KH = KA$ (lấy điểm đối xứng) để tạo thành hình bình hành. Mình sẽ giải theo hướng $KH = KA$ nhé.

1. Hình vẽ minh họa
Để vẽ hình chính xác, bạn có thể hình dung các bước sau:

Vẽ tam giác $ABC$ có cạnh $AB < AC$.
Xác định trung điểm $K$ của $BC$.
Vẽ đoạn thẳng $AK$, sau đó kéo dài về phía $K$ một đoạn $KH = KA$.
Nối $B$ với $H$, $C$ với $H$.
Từ $K$, kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $M$, đường này cắt $BH$ tại $N$.

2. Hướng dẫn giải chi tiết
a. Chứng minh $\triangle AKB = \triangle HKC$ (hoặc $\triangle AKC = \triangle HKB$)
Xét $\triangle AKB$ và $\triangle HKC$, ta có:

$AK = HK$ (theo cách lấy điểm $H$).
$\widehat{AKB} = \widehat{HKC}$ (hai góc đối đỉnh).
$KB = KC$ ($K$ là trung điểm của $BC$).
$\Rightarrow \triangle AKB = \triangle HKC$ (cạnh - góc - cạnh).

(Từ đây suy ra $AB = HC$ và $AB \parallel HC$).

b. Chứng minh $K$ là trung điểm của $MN$
Để chứng minh $K$ là trung điểm của $MN$, ta cần chứng minh $KM = KN$.

Chứng minh $AC \parallel BH$:

Tương tự câu a, ta dễ dàng chứng minh được $\triangle AKC = \triangle HKB$ (c.g.c) vì có $AK=HK$, $KC=KB$ và hai góc đối đỉnh tại $K$.
$\Rightarrow \widehat{KAC} = \widehat{KHB}$ (hai góc tương ứng).
Vì hai góc này ở vị trí so le trong nên $AC \parallel BH$.
Sử dụng tính chất vuông góc và song song:

Theo đề bài: $KM \perp AC$ tại $M$.
Mà $AC \parallel BH$ (chứng minh trên).
$\Rightarrow KM$ cũng phải vuông góc với $BH$ (định lý: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia).
Vậy $KN \perp BH$ tại $N$.
Xét hai tam giác vuông $\triangle KMC$ và $\triangle KNB$:

$\widehat{KMC} = \widehat{KNB} = 90^{\circ}$.
$KC = KB$ ($K$ là trung điểm $BC$).
$\widehat{KCM} = \widehat{KBN}$ (hai góc so le trong do $AC \parallel BH$).
$\Rightarrow \triangle KMC = \triangle KNB$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$\Rightarrow KM = KN$ (hai cạnh tương ứng).

Kết luận: Vì $K, M, N$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng qua $K$ vuông góc $AC$) và $KM = KN$ nên $K$ là trung điểm của $MN$.