Câu 1: Đại số (Dãy tỉ số bằng nhau)
Cho $\frac{a+b-c}{c} = \frac{b+c-a}{a} = \frac{c+a-b}{b}$. Tính $P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$.

Lời giải:

Cộng $1$ vào mỗi tỉ số:

$\frac{a+b-c}{c} + 1 = \frac{b+c-a}{a} + 1 = \frac{c+a-b}{b} + 1$
$\Rightarrow \frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b}$
Trường hợp 1: $a+b+c \neq 0$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{c+a+b} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$
 

Suy ra: $a+b = 2c$; $b+c = 2a$; $c+a = 2b$.

Khi đó:

$P = \frac{b+a}{b} \cdot \frac{c+b}{c} \cdot \frac{a+c}{a} = \frac{2c}{b} \cdot \frac{2a}{c} \cdot \frac{2b}{a} = \frac{8abc}{abc} = 8$.

Trường hợp 2: $a+b+c = 0$

$\Rightarrow a+b = -c$; $b+c = -a$; $c+a = -b$.

Khi đó:

$P = \frac{b+a}{b} \cdot \frac{c+b}{c} \cdot \frac{a+c}{a} = \frac{-c}{b} \cdot \frac{-a}{c} \cdot \frac{-b}{a} = \frac{-(abc)}{abc} = -1$.

Kết luận: $P = 8$ hoặc $P = -1$.

Câu 2: Số học (Phương trình chứa giá trị tuyệt đối)
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn: $2^x + 37 = |y - 45| + y - 45$.

Lời giải:

Đặt $A = y - 45$. Vế phải (VP) của phương trình là $|A| + A$.

Nếu $A < 0 \Rightarrow VP = -A + A = 0$. Khi đó $2^x + 37 = 0$ (vô lý vì $2^x > 0$).
Nếu $A \geq 0 \Rightarrow VP = A + A = 2A$. Đây là một số chẵn.
Do đó, $2^x + 37$ phải là số chẵn.

Vì $37$ là số lẻ, nên để tổng là số chẵn thì $2^x$ phải là số lẻ.

Số lũy thừa của $2$ duy nhất là số lẻ khi và chỉ khi mũ bằng $0$ ($2^0 = 1$).

$\Rightarrow x = 0$.

Thay $x = 0$ vào phương trình:

$2^0 + 37 = 2(y - 45)$

$38 = 2(y - 45) \Rightarrow y - 45 = 19 \Rightarrow y = 64$.

Kết luận: $(x; y) = (0; 64)$.

Câu 3: Hình học
a. Tính số đo góc $BIC$:

Trong $\triangle ABC$ có $\widehat{A} = 60^{\circ}$, nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Vì $BD, CE$ là phân giác nên:

$\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

Trong $\triangle BIC$: $\widehat{BIC} = 180^{\circ} - (\widehat{IBC} + \widehat{ICB}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

b. Chứng minh $ID = IE$:

Kẻ tia phân giác $IK$ của $\widehat{BIC}$ ($K \in BC$). Khi đó $\widehat{BIK} = \widehat{CIK} = 60^{\circ}$.

Ta có $\widehat{BIE} = 180^{\circ} - \widehat{BIC} = 60^{\circ}$ (kề bù).

Xét $\triangle BIE$ và $\triangle BIK$:

$BI$ chung.
$\widehat{EBI} = \widehat{KBI}$ (phân giác).
$\widehat{BIE} = \widehat{BIK} = 60^{\circ}$.

$\Rightarrow \triangle BIE = \triangle BIK$ (g.c.g) $\Rightarrow IE = IK$ (1).

Chứng minh tương tự $\triangle CID = \triangle CIK$ (g.c.g) $\Rightarrow ID = IK$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $ID = IE$ (đpcm).
c. Chứng minh tam giác $BDF$ cân:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AFD$:

$AD$ chung.
$AB = AF$ (gt).
$\widehat{BAD} = \widehat{FAD}$ (vì $D \in AC$ và $A, B, C$ tạo thành góc, thực tế là chung góc $A$).

$\Rightarrow \triangle ABD = \triangle AFD$ (c.g.c) $\Rightarrow BD = DF$.

Vì $BD = DF$, nên $\triangle BDF$ cân tại $D$.