1. Phân tích tính chất đối xứng của tam giác MNP
Tam giác $MNP$ cân tại $M$, $H$ là trung điểm của $NP$. Do đó, $MH$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao ($MH \perp NP$), đồng thời là trục đối xứng của tam giác.
Vì $HE \perp MN$ và $HF \perp MP$, theo tính chất đối xứng qua trục $MH$, ta có $HE = HF$ và $ME = MF$.
2. Chứng minh tam giác MKH cân
Xét tam giác $MKH$:

Theo đề bài, trên tia $HE$ lấy điểm $K$ sao cho $EK = EH$. Điều này có nghĩa là $E$ là trung điểm của $HK$.
Ta có $ME \perp HK$ (vì $ME$ nằm trên đường thẳng $MN$ và $HE \perp MN$).
Trong tam giác $MKH$, đường thẳng $ME$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
Vậy tam giác $MKH$ là tam giác cân tại M.
3. Chứng minh MK vuông góc với MN
Vì tam giác $MKH$ cân tại $M$:

Ta có $MK = MH$ (hai cạnh bên của tam giác cân).
Xét hai tam giác $\triangle MEK$ và $\triangle MEH$:

$ME$ là cạnh chung.
$EK = EH$ (theo giả thiết).
$\widehat{MEK} = \widehat{MEH} = 90^\circ$.
Vậy $\triangle MEK = \triangle MEH$ (cạnh - góc - cạnh).
Tuy nhiên, để chứng minh $MK \perp MN$, ta cần xem xét góc $\widehat{MKE}$ và $\widehat{MHE}$.

Trong tam giác vuông $MEH$ (vuông tại $E$), ta có $\widehat{EMH} + \widehat{MHE} = 90^\circ$.
Theo tính chất tam giác cân $MKH$, góc $\widehat{MKH} = \widehat{MHK}$.
Cách tiếp cận trực tiếp hơn:

Trong $\triangle MKH$ cân tại $M$, ta có đường cao $ME$ ứng với cạnh đáy $KH$.
Vì $ME$ là đường cao ứng với cạnh $KH$, nên theo định nghĩa đường cao:

$ME \perp KH \text{ hay } MN \perp HK$
Đề bài yêu cầu chứng minh $MK \perp MN$. Chúng ta hãy xem lại các yếu tố:

Nếu $MK \perp MN$, thì tam giác $MKN$ phải là tam giác vuông tại $M$. Tuy nhiên, dựa trên việc $E$ là trung điểm $HK$ và $ME \perp HK$, ta thấy rằng $\triangle MKH$ cân tại $M$ dẫn đến $ME$ là tia phân giác của góc $\widehat{KMH}$.
Lưu ý về đề bài: Thông thường, với cấu trúc lấy $K$ đối xứng với $H$ qua $E$ như trên, kết quả thu được là $MK = MH$. Nếu bài toán yêu cầu chứng minh $MK \perp MN$, có thể bạn đang muốn chứng minh một tính chất khác hoặc có một sự nhầm lẫn nhỏ trong diễn đạt (vì hiện tại $MN \perp HK$).
Nếu ý của bạn là chứng minh $MK = MH$ hoặc $MK$ đối xứng với $MH$ qua $MN$, thì các bước trên đã hoàn toàn xác lập được điều đó.