1. Hình vẽ minh họa

a. Chứng minh tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật
Để chứng minh $ADEF$ là hình chữ nhật, ta sẽ chứng minh đây là tứ giác có 3 góc vuông.

Xét $\triangle ABC$:

$D$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).
$E$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$\Rightarrow DE // AC$ (tính chất đường trung bình).

Mà $AC \perp AB$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).

$\Rightarrow DE \perp AB$ hay $\widehat{ADE} = 90^\circ$.
Xét tương tự với đoạn $EF$:

$E$ là trung điểm của $BC$.
$F$ là trung điểm của $AC$.

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\triangle ABC$.

$\Rightarrow EF // AB$ (tính chất đường trung bình).

Mà $AB \perp AC$ (tại $A$).

$\Rightarrow EF \perp AC$ hay $\widehat{AFE} = 90^\circ$.
Kết luận:

Tứ giác $ADEF$ có:

$\widehat{DAF} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{ADE} = 90^\circ$ (chứng minh trên).
$\widehat{AFE} = 90^\circ$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow$ Tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

b. Chứng minh $B, I, F$ thẳng hàng
Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta sẽ chứng minh chúng cùng nằm trên một đường chéo của một hình bình hành.

Chứng minh tứ giác $BDEF$ là hình bình hành:

Ta có $EF // AB$ (chứng minh ở câu a). Vì $D$ thuộc $AB$ nên $EF // BD$.
Mặt khác, $EF$ là đường trung bình nên $EF = \frac{1}{2} AB$.
Mà $D$ là trung điểm của $AB$ nên $BD = \frac{1}{2} AB$.

$\Rightarrow EF = BD$.

Tứ giác $BDEF$ có một cặp cạnh đối ($EF$ và $BD$) vừa song song vừa bằng nhau nên $BDEF$ là hình bình hành.
Xét giao điểm các đường chéo:

Trong hình bình hành $BDEF$, hai đường chéo $BF$ và $DE$ phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà theo giả thiết, $I$ là trung điểm của $DE$.

$\Rightarrow I$ cũng phải là trung điểm của đường chéo còn lại là $BF$.

$\Rightarrow B, I, F$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Kết luận: $B, I, F$ thẳng hàng (đpcm).