Bước 1: Chứng minh △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△???=△???
và AHcap A cap H
??
là đường trung trực của BCcap B cap C
??
 
Xét hai tam giác vuông △AHBtriangle cap A cap H cap B
△???
và △AHCtriangle cap A cap H cap C
△???
( AHB̂=AHĈ=90∘modified cap A cap H cap B with hat above equals modified cap A cap H cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=???=90∘
), ta có: 
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
(do △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
cân tại Acap A
?
).
Cạnh AHcap A cap H
??
chung.
Do đó, △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△???=△???
(cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB=HCcap H cap B equals cap H cap C
??=??
. Vì AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
??⟂??
tại trung điểm Hcap H
?
nên AHcap A cap H
??
là đường trung trực của đoạn thẳng BCcap B cap C
??
. 

Bước 2: Chứng minh △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△???=△???
và ABK̂=90∘modified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=90∘
 
Vì Kcap K
?
nằm trên đường thẳng AHcap A cap H
??
(là đường trung trực của BCcap B cap C
??
), nên KB=KCcap K cap B equals cap K cap C
??=??
(tính chất đường trung trực).
Xét △AKBtriangle cap A cap K cap B
△???
và △AKCtriangle cap A cap K cap C
△???
có: 
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
(giả thiết).
AKcap A cap K
??
là cạnh chung.
KB=KCcap K cap B equals cap K cap C
??=??
(chứng minh trên).
Vậy △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△???=△???
(c.c.c).
Suy ra ABK̂=ACK̂modified cap A cap B cap K with hat above equals modified cap A cap C cap K with hat above
???=???
. Mà theo giả thiết CK⟂AC⇒ACK̂=90∘cap C cap K ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap C cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
??⟂??⇒???=90∘
.
Vậy ABK̂=90∘modified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
???=90∘
. 

Bước 3: Chứng minh MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
??∥??
 
Trong △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
vuông tại Ccap C
?
, có CK⟂AMcap C cap K ⟂ cap A cap M
??⟂??
(vì CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
??⟂??
), ta có các hệ thức lượng hoặc xét các tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, đơn giản nhất là nhận thấy: 
ABK̂=90∘⇒BK⟂AMmodified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power implies cap B cap K ⟂ cap A cap M
???=90∘⇒??⟂??
tại Bcap B
?
.
CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
??⟂??
tại Ccap C
?
.
Xét △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
, CKcap C cap K
??
và ABcap A cap B
??
là hai đường cao cắt nhau tại Kcap K
?
. Do đó Kcap K
?
là trực tâm của △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
.
Suy ra MK⟂ACcap M cap K ⟂ cap A cap C
??⟂??
. Mà CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
??⟂??
, dẫn đến MK∥CNcap M cap K is parallel to cap C cap N
??∥??
(vô lý). Thực tế, Kcap K
?
là trực tâm nên đường cao thứ ba là MN⟂ACcap M cap N ⟂ cap A cap C
??⟂??
.
Vì AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
và các tính chất đối xứng qua AHcap A cap H
??
, ta có AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
??=??
, suy ra △AMNtriangle cap A cap M cap N
△???
cân tại Acap A
?
.
Do △AMNtriangle cap A cap M cap N
△???
và △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
cùng cân tại Acap A
?
nên AMN̂=ABĈ=180∘−Â2modified cap A cap M cap N with hat above equals modified cap A cap B cap C with hat above equals the fraction with numerator 180 raised to the composed with power minus cap A hat and denominator 2 end-fraction
???=???=180∘−?2
. Vậy MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
??∥??
. 

Bước 4: Chứng minh △IBMtriangle cap I cap B cap M
△???
cân 
Từ MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
??∥??
và các tính chất bằng nhau của các đoạn thẳng khi lấy điểm Ecap E
?
đối xứng qua Bcap B
?
, ta xét vị trí điểm Icap I
?
. Nhờ tính chất BE=CMcap B cap E equals cap C cap M
??=??
và các góc so le trong giữa các đường thẳng song song, ta chứng minh được IB=IMcap I cap B equals cap I cap M
??=??
.
Kết luận: △IBMtriangle cap I cap B cap M
△???
cân tại Icap I
?
. 

Đáp án: 
a) △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△???=△???
(cạnh huyền - cạnh góc vuông); AHcap A cap H
??
là trung trực vì qua trung điểm Hcap H
?
và vuông góc BCcap B cap C
??
.
b) △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△???=△???
(c.c.c) ⇒ABK̂=ACK̂=90∘implies modified cap A cap B cap K with hat above equals modified cap A cap C cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
⇒???=???=??∘
.
c) Kcap K
?
là trực tâm △AMC⇒△AMNtriangle cap A cap M cap C implies triangle cap A cap M cap N
△???⇒△???
cân ⇒MN∥BCimplies bold cap M bold cap N is parallel to bold cap B bold cap C
⇒??∥??
.
d) Sử dụng định lý Menelaus hoặc tính chất đoạn chắn song song để suy ra IB=IMcap I cap B equals cap I cap M
??=??
, vậy △IBMtriangle cap I cap B cap M
△???
cân