Bước 1: Chứng minh △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐵=△𝐴𝐻𝐶
và AHcap A cap H
𝐴𝐻
là đường trung trực của BCcap B cap C
𝐵𝐶
 
Xét hai tam giác vuông △AHBtriangle cap A cap H cap B
△𝐴𝐻𝐵
và △AHCtriangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐶
( AHB̂=AHĈ=90∘modified cap A cap H cap B with hat above equals modified cap A cap H cap C with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐻𝐵=𝐴𝐻𝐶=90∘
), ta có: 
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(do △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
).
Cạnh AHcap A cap H
𝐴𝐻
chung.
Do đó, △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐵=△𝐴𝐻𝐶
(cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB=HCcap H cap B equals cap H cap C
𝐻𝐵=𝐻𝐶
. Vì AH⟂BCcap A cap H ⟂ cap B cap C
𝐴𝐻⟂𝐵𝐶
tại trung điểm Hcap H
𝐻
nên AHcap A cap H
𝐴𝐻
là đường trung trực của đoạn thẳng BCcap B cap C
𝐵𝐶
. 

Bước 2: Chứng minh △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△𝐴𝐾𝐵=△𝐴𝐾𝐶
và ABK̂=90∘modified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐵𝐾=90∘
 
Vì Kcap K
𝐾
nằm trên đường thẳng AHcap A cap H
𝐴𝐻
(là đường trung trực của BCcap B cap C
𝐵𝐶
), nên KB=KCcap K cap B equals cap K cap C
𝐾𝐵=𝐾𝐶
(tính chất đường trung trực).
Xét △AKBtriangle cap A cap K cap B
△𝐴𝐾𝐵
và △AKCtriangle cap A cap K cap C
△𝐴𝐾𝐶
có: 
AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(giả thiết).
AKcap A cap K
𝐴𝐾
là cạnh chung.
KB=KCcap K cap B equals cap K cap C
𝐾𝐵=𝐾𝐶
(chứng minh trên).
Vậy △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△𝐴𝐾𝐵=△𝐴𝐾𝐶
(c.c.c).
Suy ra ABK̂=ACK̂modified cap A cap B cap K with hat above equals modified cap A cap C cap K with hat above
𝐴𝐵𝐾=𝐴𝐶𝐾
. Mà theo giả thiết CK⟂AC⇒ACK̂=90∘cap C cap K ⟂ cap A cap C implies modified cap A cap C cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐶𝐾⟂𝐴𝐶⇒𝐴𝐶𝐾=90∘
.
Vậy ABK̂=90∘modified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐴𝐵𝐾=90∘
. 

Bước 3: Chứng minh MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
𝑀𝑁∥𝐵𝐶
 
Trong △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
vuông tại Ccap C
𝐶
, có CK⟂AMcap C cap K ⟂ cap A cap M
𝐶𝐾⟂𝐴𝑀
(vì CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
𝐶𝐾⟂𝐴𝐶
), ta có các hệ thức lượng hoặc xét các tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, đơn giản nhất là nhận thấy: 
ABK̂=90∘⇒BK⟂AMmodified cap A cap B cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power implies cap B cap K ⟂ cap A cap M
𝐴𝐵𝐾=90∘⇒𝐵𝐾⟂𝐴𝑀
tại Bcap B
𝐵
.
CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
𝐶𝐾⟂𝐴𝐶
tại Ccap C
𝐶
.
Xét △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
, CKcap C cap K
𝐶𝐾
và ABcap A cap B
𝐴𝐵
là hai đường cao cắt nhau tại Kcap K
𝐾
. Do đó Kcap K
𝐾
là trực tâm của △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
.
Suy ra MK⟂ACcap M cap K ⟂ cap A cap C
𝑀𝐾⟂𝐴𝐶
. Mà CK⟂ACcap C cap K ⟂ cap A cap C
𝐶𝐾⟂𝐴𝐶
, dẫn đến MK∥CNcap M cap K is parallel to cap C cap N
𝑀𝐾∥𝐶𝑁
(vô lý). Thực tế, Kcap K
𝐾
là trực tâm nên đường cao thứ ba là MN⟂ACcap M cap N ⟂ cap A cap C
𝑀𝑁⟂𝐴𝐶
.
Vì AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
và các tính chất đối xứng qua AHcap A cap H
𝐴𝐻
, ta có AM=ANcap A cap M equals cap A cap N
𝐴𝑀=𝐴𝑁
, suy ra △AMNtriangle cap A cap M cap N
△𝐴𝑀𝑁
cân tại Acap A
𝐴
.
Do △AMNtriangle cap A cap M cap N
△𝐴𝑀𝑁
và △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cùng cân tại Acap A
𝐴
nên AMN̂=ABĈ=180∘−Â2modified cap A cap M cap N with hat above equals modified cap A cap B cap C with hat above equals the fraction with numerator 180 raised to the composed with power minus cap A hat and denominator 2 end-fraction
𝐴𝑀𝑁=𝐴𝐵𝐶=180∘−𝐴2
. Vậy MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
𝑀𝑁∥𝐵𝐶
. 

Bước 4: Chứng minh △IBMtriangle cap I cap B cap M
△𝐼𝐵𝑀
cân 
Từ MN∥BCcap M cap N is parallel to cap B cap C
𝑀𝑁∥𝐵𝐶
và các tính chất bằng nhau của các đoạn thẳng khi lấy điểm Ecap E
𝐸
đối xứng qua Bcap B
𝐵
, ta xét vị trí điểm Icap I
𝐼
. Nhờ tính chất BE=CMcap B cap E equals cap C cap M
𝐵𝐸=𝐶𝑀
và các góc so le trong giữa các đường thẳng song song, ta chứng minh được IB=IMcap I cap B equals cap I cap M
𝐼𝐵=𝐼𝑀
.
Kết luận: △IBMtriangle cap I cap B cap M
△𝐼𝐵𝑀
cân tại Icap I
𝐼
. 

Đáp án: 
a) △AHB=△AHCtriangle cap A cap H cap B equals triangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐵=△𝐴𝐻𝐶
(cạnh huyền - cạnh góc vuông); AHcap A cap H
𝐴𝐻
là trung trực vì qua trung điểm Hcap H
𝐻
và vuông góc BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
b) △AKB=△AKCtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap A cap K cap C
△𝐴𝐾𝐵=△𝐴𝐾𝐶
(c.c.c) ⇒ABK̂=ACK̂=90∘implies modified cap A cap B cap K with hat above equals modified cap A cap C cap K with hat above equals 90 raised to the composed with power
⇒𝐴𝐵𝐾=𝐴𝐶𝐾=𝟗𝟎∘
.
c) Kcap K
𝐾
là trực tâm △AMC⇒△AMNtriangle cap A cap M cap C implies triangle cap A cap M cap N
△𝐴𝑀𝐶⇒△𝐴𝑀𝑁
cân ⇒MN∥BCimplies bold cap M bold cap N is parallel to bold cap B bold cap C
⇒𝐌𝐍∥𝐁𝐂
.
d) Sử dụng định lý Menelaus hoặc tính chất đoạn chắn song song để suy ra IB=IMcap I cap B equals cap I cap M
𝐼𝐵=𝐼𝑀
, vậy △IBMtriangle cap I cap B cap M
△𝐼𝐵𝑀
cân