Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh

M N ⊥ A C

Vì ABCD là hình bình hành nên:

A B ∥ C D, A B = C D

M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên:

\vec{O M} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2}, \vec{O N} = \frac{\vec{O C} + \vec{O D} ​}{2}

suy ra :

\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = \frac{\vec{O C} + \vec{O D} - \vec{O A} - \vec{O} B}{2}

Mà với hình bình hành:

\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} n ê n : \vec{O C} + \vec{O D} - \vec{O A} - \vec{O} B = 2 (\vec{O} C - \vec{O B}) = 2 \vec{B C}

D o đ ó : \vec{M N} = \vec{B C} \Rightarrow M N ∥ B C

Lại có

B C ∥ A D n ê n : M N ∥ A D

Mà

A D ⊥ A C n ê n :

M N ⊥ A C

b)

Ta có M là trung điểm AB, N là trung điểm CD.

Xét hai tam giác

△ A M N v à △ C N M

(hoặc dùng tính chất hình bình hành):

A B ∥ C D, A B = C D

0

Do

A B ∥ C D, A B = C D

1, suy ra

A B ∥ C D, A B = C D

2

Vậy:

A B ∥ C D, A B = C D

3

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Lại có ở câu a)

A B ∥ C D, A B = C D

4

Trong hình bình hành AMCN, hai đường chéo là AC và MN.
Vì hai đường chéo vuông góc nên AMCN là hình thoi.

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh

M N ⊥ A C

Vì ABCD là hình bình hành nên:

A B ∥ C D, A B = C D

M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên:

\vec{O M} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2}, \vec{O N} = \frac{\vec{O C} + \vec{O D} ​}{2}

suy ra :

\vec{M N} = \vec{O N} - \vec{O M} = \frac{\vec{O C} + \vec{O D} - \vec{O A} - \vec{O} B}{2}

Mà với hình bình hành:

\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} n ê n : \vec{O C} + \vec{O D} - \vec{O A} - \vec{O} B = 2 (\vec{O} C - \vec{O B}) = 2 \vec{B C}

D o đ ó : \vec{M N} = \vec{B C} \Rightarrow M N ∥ B C

Lại có

B C ∥ A D n ê n : M N ∥ A D

Mà

A D ⊥ A C n ê n :

M N ⊥ A C

b)

Ta có M là trung điểm AB, N là trung điểm CD.

Xét hai tam giác

△ A M N v à △ C N M

(hoặc dùng tính chất hình bình hành):

A B ∥ C D, A B = C D

0

Do

A B ∥ C D, A B = C D

1, suy ra

A B ∥ C D, A B = C D

2

Vậy:

A B ∥ C D, A B = C D

3

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Lại có ở câu a)

A B ∥ C D, A B = C D

4

Trong hình bình hành AMCN, hai đường chéo là AC và MN.
Vì hai đường chéo vuông góc nên AMCN là hình thoi.

Answer 3

**a) Chứng minh MN vuông góc với AC**

Ta thực hiện chứng minh bằng phương pháp tọa độ:
Chọn hệ trục tọa độ với gốc \(A\) trùng với gốc tọa độ. Vì \(AD \perp AC\), ta đặt tia \(AC\) trùng với trục \(Ox\) và tia \(AD\) trùng với trục \(Oy\).
Do đó, ta có tọa độ các điểm \(A = (0,0)\).
Đặt \(C = (c,0)\) với \(c > 0\) (vì \(AC > 0\)).
Đặt \(D = (0,d)\) với \(d > 0\) (vì \(AD > 0\)).

Vì ABCD là hình bình hành, ta có \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
\(\vec{DC} = C - D = (c,0) - (0,d) = (c, -d)\).
Vậy \(\vec{AB} = (c, -d)\).
Tọa độ điểm B là \(B = A + \vec{AB} = (0,0) + (c, -d) = (c, -d)\).

M là trung điểm của AB, nên tọa độ M là:
\(M = \left(\frac{0+c}{2}, \frac{0-d}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, -\frac{d}{2}\right)\).

N là trung điểm của CD, nên tọa độ N là:
\(N = \left(\frac{c+0}{2}, \frac{0+d}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{d}{2}\right)\).

Ta xét hai vectơ \(\vec{AC}\) và \(\vec{MN}\):
Vectơ \(\vec{AC} = C - A = (c,0) - (0,0) = (c,0)\). Vectơ này chỉ phương của trục Ox.
Vectơ \(\vec{MN} = N - M = \left(\frac{c}{2}, \frac{d}{2}\right) - \left(\frac{c}{2}, -\frac{d}{2}\right) = (0, d)\). Vectơ này chỉ phương của trục Oy.

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{AC}\) và \(\vec{MN}\) là:
\(\vec{AC} \cdot \vec{MN} = (c)(0) + (0)(d) = 0\).
Vì tích vô hướng bằng 0, nên \(\vec{AC} \perp \vec{MN}\), suy ra AC vuông góc với MN.

**b) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?**

* **Chứng minh AMCN là hình bình hành:**
ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
M là trung điểm của AB nên \(AM = \frac{1}{2} AB\).
N là trung điểm của CD nên \(CN = \frac{1}{2} CD\).
Vì AB = CD, suy ra \(AM = CN\).
Vì AB // CD, nên AM // CN.
Xét tứ giác AMCN có hai cạnh đối AM và CN song song và bằng nhau.
Vậy, AMCN là hình bình hành.