Câu 1: Các phép biến hình trong hình chữ nhật ABCD
a) Tìm ảnh qua phép tịnh tiến:
Ảnh của tam giác BCD qua phép tịnh tiến vectơ AC: Gọi B', C', D' lần lượt là ảnh của các điểm B, C, D qua phép tịnh tiến vectơ AC. Khi đó vectơ BB' = vectơ CC' = vectơ DD' = vectơ AC. Ảnh thu được là tam giác B'C'D'.
Ảnh của tam giác ACD qua phép tịnh tiến vectơ AB: Vì vectơ AB = vectơ DC nên phép tịnh tiến này biến điểm A thành B, biến điểm D thành C. Gọi C' là điểm sao cho vectơ CC' = vectơ AB. Ảnh của tam giác ACD là tam giác BCC'.
b) Tìm ảnh qua phép đối xứng:
Ảnh của đường thẳng AD qua phép đối xứng trục CD: Vì đường thẳng AD vuông góc với trục đối xứng CD tại D, nên ảnh của đường thẳng AD qua phép đối xứng trục CD là chính nó (đường thẳng AD).
Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm C: Gọi A' và B' lần lượt là ảnh của A và B qua tâm C (C là trung điểm của AA' và BB'). Ảnh của đường thẳng AB là đường thẳng A'B' song song với AB.
Câu 2: Giải bài toán trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn đường kính AB
Tâm M là trung điểm của AB: x = (4+2)/2 = 3 và y = (2+6)/2 = 4. Vậy M(3; 4).
Độ dài đoạn AB = căn bậc hai của [(2-4)^2 + (6-2)^2] = căn 20 = 2 căn 5.
Bán kính R = AB / 2 = căn 5.
Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn ảnh qua phép vị tự tâm I(-2; 1) tỉ số k = 2
Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua phép vị tự. Ta có vectơ IM' = 2 lần vectơ IM.
Tọa độ vectơ IM = (3 - (-2); 4 - 1) = (5; 3).
Tọa độ vectơ IM' = (x' + 2; y' - 1).
Ta có hệ phương trình: x' + 2 = 2 * 5 = 10 và y' - 1 = 2 * 3 = 6.
Giải ra được x' = 8 và y' = 7. Vậy tâm ảnh là M'(8; 7).
Bán kính ảnh R' = |k| * R = 2 * căn 5 = 2 căn 5.
Bước 3: Viết phương trình đường tròn ảnh
Phương trình đường tròn ảnh có tâm M'(8; 7) và bán kính R' = 2 căn 5 là:
(x - 8)^2 + (y - 7)^2 = (2 căn 5)^2
Kết quả cuối cùng: (x - 8)^2 + (y - 7)^2 = 20.