Phần a Chứng minh AC vuông góc với DC
Xét đường tròn tâm O có đoạn thẳng AD là đường kính vì đường thẳng AO đi qua tâm O và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Điểm C nằm trên đường tròn tâm O. Theo tính chất của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, góc ACD nhìn đường kính AD nên góc ACD bằng 90 độ. Vì góc ACD bằng 90 độ nên cạnh AC vuông góc với cạnh DC.

Phần b Chứng minh góc ABC bằng góc ADC
Trong đường tròn tâm O, hai góc ABC và ADC đều là các góc nội tiếp. Cả hai góc này cùng chắn cung nhỏ AC. Theo tính chất của hình học lớp 9, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Vậy góc ABC bằng góc ADC.

Phần c Chứng minh tích AB nhân AC bằng tích AH nhân AD
Lưu ý: Đề bài bạn viết là AB nhân AH bằng AH nhân AD thì chưa chính xác, đúng phải là AB nhân AC bằng AH nhân AD. Mình sẽ chứng minh biểu thức đúng này.

Xét hai tam giác vuông là tam giác ABH vuông tại H và tam giác ADC vuông tại C. Ta có: Góc AHB bằng góc ACD vì cùng bằng 90 độ. Góc ABC bằng góc ADC theo chứng minh ở phần b. Do đó tam giác ABH đồng dạng với tam giác ADC theo trường hợp góc góc. Từ sự đồng dạng này ta có tỉ số: AB chia cho AD bằng AH chia cho AC. Thực hiện nhân chéo ta được kết quả: AB nhân AC bằng AH nhân AD.

Phần d Chứng minh tích ED nhân EA bằng bình phương cạnh EC
Xét đường tròn tâm O có EC là tiếp tuyến tại điểm C và EAD là một cát tuyến đi qua điểm A và D. Xét hai tam giác là tam giác ECD và tam giác EAC có: Góc E là góc chung của cả hai tam giác. Góc ECD là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung nhỏ CD. Góc EAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ CD. Theo tính chất hình học, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó, nên góc ECD bằng góc EAC. Vậy tam giác ECD đồng dạng với tam giác EAC theo trường hợp góc góc. Từ đó ta có tỉ số: EC chia cho EA bằng ED chia cho EC. Thực hiện nhân chéo ta được kết quả: ED nhân EA bằng bình phương cạnh EC.

Phần e Chứng minh BI bằng 2 lần OM
Trong tam giác ABC có I là trực tâm và M là trung điểm của cạnh AC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm O. Theo chứng minh ở phần a, ta có AC vuông góc với DC. Mà BI cũng vuông góc với AC vì I là trực tâm. Suy ra BI song song với DC. Tương tự, ta có AB vuông góc với BD vì góc ABD chắn nửa đường tròn. Mà CI cũng vuông góc với AB vì I là trực tâm. Suy ra CI song song với BD. Tứ giác BICD có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành. Trong hình bình hành BICD, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi N là trung điểm của BC, thì N cũng là trung điểm của ID. Xét tam giác ADI có O là trung điểm của AD và M là trung điểm của AC. Tuy nhiên cách này chưa tối ưu. Cách chuẩn nhất là: Trong tam giác ACD, OM là đường trung bình vì O là trung điểm AD và M là trung điểm AC. Suy ra OM song song và bằng một nửa cạnh DC. Mà theo tính chất hình bình hành ở trên, cạnh BI bằng cạnh DC. Vậy BI bằng 2 lần OM.

Đáp số: Các phần a, b, c, d, e đã được chứng minh xong.

Bạn có muốn mình giải thích kỹ hơn về tính chất của hình bình hành BICD trong phần e không?