Giả thiết:
• MB = 3MC → điểm M nằm trên đoạn BC, chia BC theo tỉ lệ MB : MC = 3 : 1
• NA + 3NC = 0 → NA = -3NC → AN = 3NC → điểm N nằm trên đoạn AC, chia AC theo tỉ lệ AN : NC = 3 : 1
• PA + PB = 0 → PA = -PB → P là trung điểm của đoạn AB

a. BM = 3CM
Đúng.
Vì MB = 3MC theo giả thiết, nên BM = 3CM là hoàn toàn chính xác.

b. 2CP = CA + CB
Đúng.
Vì P là trung điểm của AB nên:
• PA + PB = 0 → PA = -PB
• Suy ra: P là trung điểm AB
Ta có:
• CA + CB = C(A + B) = C(2P) = 2CP
→ Đúng.

c. BN = 1/3BA + 3/4BC
Sai.
Điểm N nằm trên AC, không liên quan trực tiếp đến điểm B.
Vì vậy, biểu thức BN = 1/3BA + 3/4BC là không hợp lý về mặt hình học.

d. AP = 3/2AM - AC
Sai.
Từ giả thiết MB = 3MC → M chia BC theo tỉ lệ 3:1
→ M là điểm chia đoạn BC theo tỉ lệ 3:1
→ Không có thông tin nào liên hệ trực tiếp giữa A, P và M để suy ra công thức AP = 3/2AM - AC
→ Không đủ cơ sở để khẳng định đúng, nên câu này sai.

Giả thiết:
• MB = 3MC → điểm M nằm trên đoạn BC, chia BC theo tỉ lệ MB : MC = 3 : 1
• NA + 3NC = 0 → NA = -3NC → AN = 3NC → điểm N nằm trên đoạn AC, chia AC theo tỉ lệ AN : NC = 3 : 1
• PA + PB = 0 → PA = -PB → P là trung điểm của đoạn AB

a. BM = 3CM
Đúng.
Vì MB = 3MC theo giả thiết, nên BM = 3CM là hoàn toàn chính xác.

b. 2CP = CA + CB
Đúng.
Vì P là trung điểm của AB nên:
• PA + PB = 0 → PA = -PB
• Suy ra: P là trung điểm AB
Ta có:
• CA + CB = C(A + B) = C(2P) = 2CP
→ Đúng.

c. BN = 1/3BA + 3/4BC
Sai.
Điểm N nằm trên AC, không liên quan trực tiếp đến điểm B.
Vì vậy, biểu thức BN = 1/3BA + 3/4BC là không hợp lý về mặt hình học.

d. AP = 3/2AM - AC
Sai.
Từ giả thiết MB = 3MC → M chia BC theo tỉ lệ 3:1
→ M là điểm chia đoạn BC theo tỉ lệ 3:1
→ Không có thông tin nào liên hệ trực tiếp giữa A, P và M để suy ra công thức AP = 3/2AM - AC
→ Không đủ cơ sở để khẳng định đúng, nên câu này sai.

Câu a Đẳng thức vectơ BM bằng 3 lần vectơ CM là Sai

Phân tích: Đề bài cho điểm M sao cho độ dài đoạn MB bằng 3 lần độ dài đoạn MC. Tuy nhiên, nếu viết dưới dạng vectơ, bạn cần chú ý đến hướng. Vì điểm M nằm trên đoạn thẳng BC và MB bằng 3 lần MC, nên hai vectơ MB và MC là hai vectơ ngược hướng nhau. Dữ kiện đúng phải là vectơ MB bằng âm 3 lần vectơ MC. Nếu viết là vectơ BM bằng 3 lần vectơ CM thì hai vectơ này cũng ngược hướng nhau, nên dấu phải là dấu âm. Do đó câu này là Sai.

Câu b Đẳng thức 2 lần vectơ CP bằng vectơ CA cộng vectơ CB là Đúng

Phân tích: Đề bài cho PA cộng PB bằng 0. Điều này có nghĩa là P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo tính chất trung điểm của một đoạn thẳng trong hình học vectơ, với mọi điểm C bất kỳ, ta luôn có: vectơ CA cộng vectơ CB bằng 2 lần vectơ nối từ C đến trung điểm của AB. Vì P là trung điểm AB nên CA cộng CB bằng 2 lần vectơ CP. Đây là một đẳng thức cơ bản và hoàn toàn chính xác.

Câu c Đẳng thức vectơ BN bằng 1 phần 3 vectơ BA cộng 3 phần 4 vectơ BC là Sai

Phân tích: Đề bài cho vectơ NA cộng 3 lần vectơ NC bằng 0. Điều này có nghĩa là điểm N nằm trên đoạn AC sao cho đoạn NA bằng 3 lần đoạn NC và hai vectơ này ngược hướng. Để tính vectơ BN, ta dùng quy tắc xen điểm B vào: vectơ BA trừ vectơ BN cộng 3 lần tích của vectơ BC trừ vectơ BN bằng 0. Biến đổi ta được: vectơ BA cộng 3 lần vectơ BC bằng 4 lần vectơ BN. Suy ra vectơ BN bằng 1 phần 4 vectơ BA cộng 3 phần 4 vectơ BC. So với đề bài là 1 phần 3 BA, kết quả này khác biệt nên câu c là Sai.

Câu d Đẳng thức vectơ AP bằng 3 phần 2 vectơ AM trừ vectơ AC là Đúng

Phân tích: Chúng ta cần biểu diễn vectơ AP theo AM và AC. Từ phần a ta có MB bằng âm 3 lần MC. Dùng quy tắc xen điểm A vào ta được: vectơ AB trừ vectơ AM bằng âm 3 lần tích của vectơ AC trừ vectơ AM. Biến đổi: vectơ AB trừ vectơ AM bằng âm 3 lần vectơ AC cộng 3 lần vectơ AM. Suy ra vectơ AB bằng 4 lần vectơ AM trừ 3 lần vectơ AC. Vì P là trung điểm của AB nên vectơ AP bằng 1 phần 2 vectơ AB. Thay vectơ AB ở trên vào ta có: AP bằng 1 phần 2 của tích 4 lần AM trừ 3 lần AC. Kết quả AP bằng 2 lần AM trừ 3 phần 2 AC. So sánh với đề bài 3 phần 2 AM trừ AC thì kết quả này không khớp. Tuy nhiên, nếu đề bài bạn đưa ra có sai sót nhỏ về số liệu trong quá trình chép đề, hãy kiểm tra kỹ lại các hệ số. Với dữ kiện hiện tại, câu d là Sai.

Tổng kết Câu a Sai. Câu b Đúng. Câu c Sai. Câu d Sai.