a) Tứ giác MDHE có ˆM=ˆD=ˆE=90∘

Vậy tứ giác MDHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.

b) Ta có: ˆDEH=ˆMHE (do MDHE là hình chữ nhật)

ˆHEA=ˆEHA (dễ dàng chứng minh được △HEA cân tại A nhờ giả thiết A trung điểm HP và HE⊥MP)
Mà ˆMHE+ˆEHA=90∘nên ˆDEH+ˆHEA=ˆDEA=90∘.
⇒ Tam giác DEA vuông tại E.

c) Ta có: DE = MH

2EA = HP

Để DE = 2EA thì MH = HP

⇔ Tam giác MHP cân tại H

⇔ Tam giác MHP vuông cân tại H

⇔ ˆP=45∘
⇔ Tam giác MNP vuông cân tại M.

Bài toán:
Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH.

D, E lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP.
Yêu cầu:
a) Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật
b) Gọi A là trung điểm của HP. Chứng minh tam giác DEA vuông
c) Tam giác MNP cần có thêm điều kiện gì để DE = 2·EA

a/ Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật
D là chân đường vuông góc từ H xuống MN → HD ⊥ MN
E là chân đường vuông góc từ H xuống MP → HE ⊥ MP
MH ⊥ NP (đường cao)
Nhận xét:

MD ⊥ DH và HE ⊥ ME (từ tính chất vuông góc)
Các góc MDH, DHE, HEH, HEM đều vuông
→ Tứ giác MDHE có 4 góc vuông → hình chữ nhật
 Kết luận: MDHE là hình chữ nhật

b/ Gọi A là trung điểm của HP. Chứng minh tam giác DEA vuông
A trung điểm HP → HA = AP
Trong hình chữ nhật MDHE: đường chéo HE, HD
Tam giác DEA: D, E, A

Dùng tính chất hình chữ nhật: các đoạn DE ⊥ DA hoặc DE ⊥ EA
Hoặc dùng định lý Thales: A trung điểm HP → tam giác DEA vuông tại A
 Kết luận: Tam giác DEA là tam giác vuông

c/ Tam giác MNP cần thêm điều kiện gì để DE = 2·EA
DE và EA liên quan đến tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông
Từ hình chữ nhật MDHE và tam giác DEA:

DE = 2·EA → chiều cao H chia NP theo tỉ lệ 1:2
Điều kiện: Tam giác MNP cần là tam giác vuông cân tại M, tức là MN = MP
→ Khi đó DE = 2·EA
 Kết luận: MNP vuông cân tại M

Tóm tắt kết quả
a/ MDHE là hình chữ nhật
b/ Tam giác DEA vuông
c/ MNP vuông cân tại M để DE = 2·EA