1. Thiết lập hệ trục tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với $A$, trục $Ox$ nằm trên đường thẳng $AB$ và trục $Oy$ nằm trên đường thẳng $AD$.

$A(0; 0)$
$B(2a; 0)$ (do $AB = 2a$)
$D(0; a)$ (do $AD = a$)
$C(2a; 3a)$ (do $BC = 3a$ và $BC \parallel AD$)

2. Tính toán các vectơ
$\vec{AB} = (2a; 0)$
$\vec{BD} = (0 - 2a; a - 0) = (-2a; a)$
$\vec{BC} = (0; 3a)$
$\vec{AC} = (2a; 3a)$

3. Xét tính đúng sai
a) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -4a^2$

Tính tích vô hướng: $(2a) \cdot (-2a) + 0 \cdot a = -4a^2$.
Kết luận: ĐÚNG.
b) $\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 2a^2$

Tính tích vô hướng: $0 \cdot (-2a) + (3a) \cdot a = 3a^2$.
Kết luận: SAI (Giá trị đúng phải là $3a^2$).
c) $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = -2a^2$

Tính tích vô hướng: $(2a) \cdot (-2a) + (3a) \cdot a = -4a^2 + 3a^2 = -a^2$.
Kết luận: SAI (Giá trị đúng phải là $-a^2$).
d) $\vec{AC} \cdot \vec{IJ} = 6a^2$ (với $I, J$ là trung điểm $AB, CD$)

Tọa độ $I$ (trung điểm $AB$): $I(a; 0)$.
Tọa độ $J$ (trung điểm $CD$): $J\left(\frac{2a+0}{2}; \frac{3a+a}{2}\right) = J(a; 2a)$.
Vectơ $\vec{IJ} = (a - a; 2a - 0) = (0; 2a)$.
Tính tích vô hướng: $\vec{AC} \cdot \vec{IJ} = (2a) \cdot 0 + (3a) \cdot (2a) = 6a^2$.
Kết luận: ĐÚNG.

Tổng kết kết quả:
a: Đúng
b: Sai
c: Sai
d: Đúng