Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1. Phân tích và dựng hình phụ
Xét hình vuông $ABCD$, ta có $\widehat{CAE} = \widehat{DAF}$ (theo giả thiết).

Để giải bài toán này, ta thực hiện phép quay hoặc dựng một điểm phụ $K$ trên tia đối của tia $BC$ sao cho $BK = DF$.

2. Các bước chứng minh
Bước 1: Chứng minh $\triangle ADF = \triangle ABK$

Xét hai tam giác vuông $ADF$ và $ABK$:

$AD = AB$ (cạnh hình vuông).
$\widehat{D} = \widehat{B} = 90^\circ$.
$DF = BK$ (theo cách dựng).
Suy ra $\triangle ADF = \triangle ABK$ (c-g-c).
Từ đó ta có: $AF = AK$ và $\widehat{DAF} = \widehat{BAK}$.
Bước 2: Chứng minh $\triangle AF C = \triangle AK C$ không khả thi, ta chuyển sang so sánh góc.

Ta có $\widehat{CAF} = \widehat{CAD} - \widehat{DAF} = 45^\circ - \widehat{DAF}$.

Lại có $\widehat{EAK} = \widehat{EAB} + \widehat{BAK} = (45^\circ - \widehat{CAE}) + \widehat{DAF}$.

Vì $\widehat{CAE} = \widehat{DAF}$, nên $\widehat{EAK} = 45^\circ$.

Bước 3: Sử dụng tính chất đường trung trực hoặc tam giác bằng nhau

Xét $\triangle AEF$ và $\triangle AEK$:

$AE$ là cạnh chung.
$\widehat{FAE} = \widehat{FAC} + \widehat{CAE} = (45^\circ - \widehat{DAF}) + \widehat{CAE} = 45^\circ$.
Mà $\widehat{KAE} = 45^\circ$ (chứng minh trên). Do đó $\widehat{FAE} = \widehat{KAE}$.
$AF = AK$ (chứng minh ở Bước 1).
Suy ra $\triangle AEF = \triangle AEK$ (c-g-c).
Bước 4: Kết luận

Từ $\triangle AEF = \triangle AEK$, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{AEF} = \widehat{AEK}$.
Điều này có nghĩa là $EA$ chính là tia phân giác của góc $\widehat{KEF}$.
Vì $K, B, E$ thẳng hàng (theo cách dựng), nên $\widehat{KEF}$ cũng chính là góc $\widehat{BEF}$.
Vậy $EA$ là tia phân giác của $\widehat{BEF}$.

...Xem thêm

Answer 2