Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Xét mặt phẳng đi qua ba điểm M, N và G, ta cần tìm giao điểm K của đường thẳng SC với mặt phẳng này, đồng thời tính tỉ số giữa độ dài đoạn SK và SC.
Để giải bài toán, ta gán tọa độ cho các điểm để dễ tính toán. Giả sử A có tọa độ (0; 0; 0), B là (2a; 0; 0), D là (0; 2b; 0). Vì ABCD là hình bình hành nên điểm C có tọa độ (2a; 2b; 0). Gọi S là đỉnh chóp có tọa độ (0; 0; h).
Khi đó, trung điểm M của AB có tọa độ (a; 0; 0), trung điểm N của AD có tọa độ (0; b; 0). Trọng tâm G của tam giác SBD là trung bình cộng tọa độ ba điểm S, B và D, nên G có tọa độ (2a chia 3; 2b chia 3; h chia 3).
Xét điểm K thuộc đường thẳng SC, ta biểu diễn điểm K theo tham số t. Vì SC là đoạn thẳng nối từ S đến C nên tọa độ điểm K là (2a nhân t; 2b nhân t; h nhân (1 trừ t)).
Để điểm K thuộc mặt phẳng MNG, ta yêu cầu ba vectơ MN, MG và MK đồng phẳng, tức là tích hỗn hợp của ba vectơ này bằng 0. Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị t bằng hai phần ba.
Vậy giao điểm K chia đoạn SC theo tỉ lệ SK chia cho SC bằng hai phần ba.