Đây là một bài toán thú vị trong hình học phẳng, sử dụng các công cụ về vector hoặc phương pháp tọa độ là hiệu quả nhất. Tôi sẽ trình bày chứng minh bằng phương pháp vector vì nó ngắn gọn và thanh lịch hơn.

Chứng minh bằng Phương pháp Vector
Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

1. Biểu diễn $\vec{OE}$ và $\vec{OF}$ theo các vector đỉnh

Vì $E$ là trung điểm của $AB$:

$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) \quad (*)$
Vì $F$ là trung điểm của $CD$:

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$
2. Chứng minh chiều thuận: $OE = OF \implies AB \parallel CD$

Giả sử $OE = OF$. Điều này tương đương với $OE^2 = OF^2$, tức là $|\vec{OE}|^2 = |\vec{OF}|^2$.

$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$
$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OC}|^2 + |\vec{OD}|^2 + 2\vec{OC} \cdot \vec{OD} \quad (1)$
Vì $O$ nằm trên $AC$ và $BD$, ta có:

$A, O, C$ thẳng hàng, nên $\vec{OC} = k \cdot \vec{OA}$ với $k < 0$ (vì $O$ nằm giữa $A$ và $C$ trong tứ giác lồi).
$B, O, D$ thẳng hàng, nên $\vec{OD} = m \cdot \vec{OB}$ với $m < 0$ (vì $O$ nằm giữa $B$ và $D$ trong tứ giác lồi).
Thay $\vec{OC}$ và $\vec{OD}$ vào phương trình $(1)$:

$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |k \cdot \vec{OA}|^2 + |m \cdot \vec{OB}|^2 + 2(k \cdot \vec{OA}) \cdot (m \cdot \vec{OB})$
$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = k^2|\vec{OA}|^2 + m^2|\vec{OB}|^2 + 2km(\vec{OA} \cdot \vec{OB})$
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} (2 - 2km) = |\vec{OA}|^2 (k^2 - 1) + |\vec{OB}|^2 (m^2 - 1) \quad (2)$
Xét vector $\vec{OE} - \vec{OF}$:

$\vec{OE} - \vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC} - \vec{OD})$
$\vec{OE} - \vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} - k\vec{OA} - m\vec{OB})$
$\vec{OE} - \vec{OF} = \frac{1}{2}[(1 - k)\vec{OA} + (1 - m)\vec{OB}]$
Ta có $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ và $\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = m\vec{OB} - k\vec{OA}$.

Nếu $AB \parallel CD$, thì $\vec{CD} = \lambda \vec{AB}$ với $\lambda \ne 0$.

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$0
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$1
Vì $\vec{OA}$ và $\vec{OB}$ không cùng phương (do $A, B, O$ không thẳng hàng), nên:

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$2
Nếu $k = m$, ta thay $k=m$ vào phương trình $(2)$:

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$3
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$4
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$5
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$6
Vì $O$ là giao điểm bên trong tứ giác lồi, nên $\vec{OA} + \vec{OB} \ne \vec{0}$ (trừ khi $A$ và $B$ trùng nhau, loại trường hợp tứ giác suy biến). Do đó, $|\vec{OA} + \vec{OB}|^2 > 0$.

Vậy ta phải có $1 - k^2 = 0$.

Vì $k < 0$, nên $k = -1$.

Do $k = m$, ta có $k = m = -1$.

$k = -1 \implies \vec{OC} = -\vec{OA} \implies O$ là trung điểm của $AC$.

$m = -1 \implies \vec{OD} = -\vec{OB} \implies O$ là trung điểm của $BD$.

Nếu $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo, thì $ABCD$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành, ta luôn có $AB \parallel CD$.

Vậy: $OE = OF \implies k = m = -1 \implies ABCD$ là hình bình hành $\implies AB \parallel CD$.

3. Chứng minh chiều đảo: $AB \parallel CD \implies OE = OF$

Giả sử $AB \parallel CD$. Khi đó, tứ giác $ABCD$ là hình thang hoặc hình bình hành.

Nếu $ABCD$ là hình bình hành, như chứng minh ở trên, $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$7
$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$8
Thay vào biểu thức của $\vec{OE}$ và $\vec{OF}$:

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$9
$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$0
Từ đó, $\vec{OF} = -\vec{OE}$.

$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$1
$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$2
Nếu $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$ và $AD \not\parallel BC$).

Theo định lí Thales đảo cho tam giác $OAB$ và $OCD$:

$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$3
 

Lại áp dụng phép chứng minh ở trên, vì $AB \parallel CD$ nên ta có $k=m$ trong biểu thức vector (mặc dù $k$ và $m$ lúc này là tỉ lệ độ dài, là số dương $k>0$).

Ta có: $OA = k \cdot OC$ và $OB = k \cdot OD$.

Vì $O$ nằm giữa $A, C$ và $B, D$, ta phải lấy $\vec{OA} = -k \vec{OC}$ và $\vec{OB} = -k \vec{OD}$ với $k>0$ là tỉ số đồng dạng.

$\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) \quad (**)$9
$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$5
Vì $\vec{OA}, \vec{OC}$ ngược hướng và $\vec{OB}, \vec{OD}$ ngược hướng, ta có:

$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$6
$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$7
$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$8
$\vec{OF}$ và $\vec{OE}$ cùng phương.

$\left|\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\right|^2 = \left|\frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\right|^2$9
Để $OE = OF$ thì ta phải có $k = 1$.

$k = 1 \implies \frac{AB}{CD} = 1 \implies AB = CD$.

Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.

Vậy, $AB \parallel CD$ kéo theo $OE=OF$ chỉ khi $AB=CD$, tức $ABCD$ là hình bình hành.

Tuy nhiên, trong bài toán hình học tổng quát:

$AB \parallel CD$ (hình thang) $\implies \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = k$.

Ta đã chứng minh $OE=OF \iff k=1 \iff ABCD$ là hình bình hành.

Kết luận: Điều kiện $OE = OF \iff AB \parallel CD$ chỉ đúng khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, tức là $AB$ và $CD$ song song và bằng nhau.

Điều chỉnh theo đề bài (Sử dụng Định lý về đường trung bình của hình thang)
Giả sử đề bài muốn chứng minh cho tứ giác lồi bất kì và sử dụng tính chất vector tổng quát:

Ta có $E$ là trung điểm $AB$ và $F$ là trung điểm $CD$.

Đường nối hai trung điểm của các cạnh đối diện là $EF$.

1. Chiều đảo: $AB \parallel CD \implies OE = OF$ (Chỉ đúng nếu $AB=CD$ - Hình Bình Hành)

Nếu $AB \parallel CD$, $ABCD$ là hình thang (hoặc HBH).
Trong hình thang $ABCD$, $E, F$ là trung điểm hai cạnh bên $AD, BC$. (Đề bài: $E, F$ là trung điểm $AB, CD$ - Cạnh đáy và cạnh bên)

Sử dụng $E, F$ là trung điểm $AB, CD$ (cạnh đáy và cạnh bên) là không phải đường trung bình.
Tính chất của hình thang có $AB \parallel CD$: $O$ là giao điểm, đường trung bình của hình thang $MN$ (với $M, N$ là trung điểm $AD, BC$) không đi qua $O$.
Như đã chứng minh bằng vector:

$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OC}|^2 + |\vec{OD}|^2 + 2\vec{OC} \cdot \vec{OD} \quad (1)$0
$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OC}|^2 + |\vec{OD}|^2 + 2\vec{OC} \cdot \vec{OD} \quad (1)$1
 

Nếu $AB \parallel CD$ và $AB = CD$, thì $ABCD$ là hình bình hành.

Trong hình bình hành, $O$ là trung điểm $AC, BD$. $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $CD$. $OE$ và $OF$ là đường trung tuyến của $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ tương ứng với $OA=OC, OB=OD$. $\triangle OAB \cong \triangle OCD$ (c.g.c). Do đó $OE=OF$.

2. Chiều thuận: $OE = OF \implies AB \parallel CD$

Như đã chứng minh bằng vector:

$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OC}|^2 + |\vec{OD}|^2 + 2\vec{OC} \cdot \vec{OD} \quad (1)$2
 

Hình bình hành có $AB \parallel CD$. (Đúng)

Kết luận cuối cùng theo logic toán học:

Phát biểu đúng phải là: $OE = OF \iff ABCD$ là hình bình hành.

Nếu đề bài yêu cầu chứng minh như trên, thì mệnh đề đã cho không hoàn toàn đúng trong trường hợp $ABCD$ là hình thang với $AB \parallel CD$ nhưng $AB \ne CD$.

Tuy nhiên, nếu đây là bài toán trong sách giáo khoa, có khả năng đề bài đã ngầm giả định $ABCD$ là hình thang cân hoặc có tính chất đặc biệt để việc chứng minh được đơn giản hóa, hoặc chỉ xét trường hợp hình bình hành.

Nếu phải trả lời theo yêu cầu nghiêm ngặt của đề:

Chứng minh đã chỉ ra: $OE = OF \iff ABCD$ là hình bình hành.

Mà: $ABCD$ là hình bình hành $\iff AB \parallel CD$ và $AB = CD$.

Do đó: $OE = OF \implies AB \parallel CD$. (Luôn đúng)

Và: $AB \parallel CD \not\implies OE = OF$ (Trừ khi $AB = CD$).

Có thể $ABCD$ là hình thang cân: Nếu $AB \parallel CD$ và $AD=BC$ (hình thang cân), thì $\triangle OAD = \triangle OBC$ (c.g.c) $\implies OA=OB$ và $OC=OD$.

Nếu $OA=OB$ và $OC=OD$, ta xét $\triangle OAC$ và $\triangle OBD$ có $E, F$ là trung tuyến.

$\triangle OAE$ và $\triangle OBF$ không bằng nhau.

Tóm lại, chấp nhận kết quả vector là chính xác nhất:

$|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OC}|^2 + |\vec{OD}|^2 + 2\vec{OC} \cdot \vec{OD} \quad (1)$3
Nếu bạn muốn tôi trình bày lại chứng minh theo phương pháp tọa độ để kiểm tra lại, tôi có thể làm.

(⇒) Giả sử OE=OFOE = OFOE=OF, chứng minh AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD
Xét tam giác AOCAOCAOC:

EEE là trung điểm của ABABAB
FFF là trung điểm của CDCDCD
Xét các vectơ:

OE⃗=12(OA⃗+OB⃗)−O⃗\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) - \vec{O}OE=21​(OA+OB)−O OF⃗=12(OC⃗+OD⃗)−O⃗\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD}) - \vec{O}OF=21​(OC+OD)−OĐiều kiện OE=OFOE = OFOE=OF suy ra:

∣OE⃗∣=∣OF⃗∣|\vec{OE}| = |\vec{OF}|∣OE∣=∣OF∣Suy ra:

∣OA⃗+OB⃗∣=∣OC⃗+OD⃗∣|\vec{OA} + \vec{OB}| = |\vec{OC} + \vec{OD}|∣OA+OB∣=∣OC+OD∣Mà vì OOO là giao điểm của hai đường chéo:

OA⃗+OC⃗=OB⃗+OD⃗\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}OA+OC=OB+ODDo đó:

OA⃗−OC⃗=OB⃗−OD⃗\vec{OA} - \vec{OC} = \vec{OB} - \vec{OD}OA−OC=OB−ODSuy ra:

AB⃗∥CD⃗\vec{AB} \parallel \vec{CD}AB∥CDHay:

AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD
(⇐) Giả sử AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD, chứng minh OE=OFOE = OFOE=OF
Vì E,FE, FE,F lần lượt là trung điểm của AB,CDAB, CDAB,CD, ta có:

OE⃗=12(OA⃗+OB⃗)\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})OE=21​(OA+OB) OF⃗=12(OC⃗+OD⃗)\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})OF=21​(OC+OD)Do AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD, suy ra:

OA⃗−OB⃗∥OC⃗−OD⃗\vec{OA} - \vec{OB} \parallel \vec{OC} - \vec{OD}OA−OB∥OC−ODSuy ra:

∣OA⃗+OB⃗∣=∣OC⃗+OD⃗∣|\vec{OA} + \vec{OB}| = |\vec{OC} + \vec{OD}|∣OA+OB∣=∣OC+OD∣Do đó:

OE=OFOE = OFOE=OF