📐 Giải bài toán hình học
Hình vẽ mô tả:
Vẽ tam giác $ABC$.
Xác định trung điểm $M$ của cạnh $BC$.
Vẽ tia $MA$.
Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $E$ sao cho $ME = MA$.
Nối $E$ với $C$ và $E$ với $B$.
a) Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ECM$
Xét hai tam giác $\triangle ABM$ và $\triangle ECM$, ta có:

$AM = EM$ (Theo giả thiết $ME = MA$).
$\angle AMB = \angle EMC$ (Hai góc đối đỉnh).
$BM = CM$ (Vì $M$ là trung điểm của $BC$ theo giả thiết).
$\Rightarrow$ $\triangle ABM = \triangle ECM$ (c.g.c - Cạnh - Góc - Cạnh).

b) Chứng minh $AB // CE$
Vì $\triangle ABM = \triangle ECM$ (chứng minh ở câu a).

$\Rightarrow$ Các cặp góc tương ứng bằng nhau. Ta suy ra:

$\angle BAM = \angle CEM$
 

hay

$\angle BAE = \angle AEC$
Hai góc này ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng $AB$ và $CE$ bị cắt bởi cát tuyến $AE$.

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:

$\Rightarrow \mathbf{AB // CE}$
c) Chứng minh $M$ là trung điểm của $HK$
Để chứng minh $M$ là trung điểm của $HK$, ta cần chứng minh $H, M, K$ thẳng hàng và $MH = MK$. Tuy nhiên, trong bài toán này, $H$ và $K$ là chân đường vuông góc, nên ta sẽ chứng minh $\triangle HMK$ là tam giác cân tại $M$ và $\angle HMK = 180^\circ$ (hoặc chứng minh $MH = MK$ và $H, M, K$ nằm trên đường vuông góc với một đường thẳng). Cách đơn giản nhất là chứng minh $\triangle MHA = \triangle MKE$ hoặc $\triangle MHB = \triangle MKC$.

Ta sẽ chứng minh $\triangle MHB = \triangle MKC$ theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn.

Bước 1: Chứng minh $\angle ABM = \angle ECM$ (hay $\angle HBM = \angle KCM$).
Vì $\triangle ABM = \triangle ECM$ (chứng minh ở câu a).

$\Rightarrow$ Các cặp góc tương ứng bằng nhau. Ta suy ra:

$\angle ABM = \angle ECM$
 

hay

$\angle HBM = \angle KCM$
Bước 2: Chứng minh $\triangle MHB = \triangle MKC$.
Xét hai tam giác vuông $\triangle MHB$ (vuông tại $H$) và $\triangle MKC$ (vuông tại $K$):

$BM = CM$ (Vì $M$ là trung điểm của $BC$).
$\angle HBM = \angle KCM$ (Chứng minh ở Bước 1).
$\Rightarrow$ $\triangle MHB = \triangle MKC$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Bước 3: Kết luận $M$ là trung điểm của $HK$.
Vì $\triangle MHB = \triangle MKC$.

$\Rightarrow$ Hai cạnh tương ứng bằng nhau:

$\mathbf{MH = MK}$
Xét $\triangle MHK$, ta có $MH = MK$, suy ra $\triangle MHK$ là tam giác cân tại $M$.

Do $H$ thuộc $AB$, $K$ thuộc $CE$, và $AB // CE$ (chứng minh ở câu b), hai đường thẳng $AB$ và $CE$ song song với nhau.

(Đến đây ta có thể dừng lại vì $MH=MK$ là đủ để nói $M$ nằm giữa $HK$ nếu $H, M, K$ thẳng hàng. Để chứng minh $M$ là trung điểm một cách đầy đủ hơn, ta cần chứng minh $H, M, K$ thẳng hàng hoặc $H, M, K$ thẳng hàng là hiển nhiên dựa trên $AB//CE$).

Để đảm bảo $M$ là trung điểm, ta chỉ cần $\mathbf{MH = MK}$ (đã chứng minh) và $H, M, K$ thẳng hàng.

Ta có $MH \perp AB$ và $MK \perp CE$.
Mà $AB // CE$.
$\Rightarrow$ $MH$ và $MK$ cùng vuông góc với hai đường thẳng song song, nên $MH$ và $MK$ phải nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc chung, tức là $H, M, K$ thẳng hàng (hoặc $H, M, K$ tạo thành một góc bẹt $180^\circ$ nếu ta xoay $M$ để $MK$ trùng với phần kéo dài của $MH$).
Cách đơn giản và đầy đủ nhất là dựa vào $MH=MK$ và $H, M, K$ thẳng hàng. Trong trường hợp này, vì $M$ nằm giữa $AB$ và $CE$, nên $M$ nằm giữa $H$ và $K$.

Vậy, $\mathbf{M}$ là trung điểm của $\mathbf{HK}$.